저항과 정전용량의 관계식 $RC = \rho \epsilon$은 어떻게 유도되나요?

전류 밀도 $J = \frac{E}{\rho}$와 전속 밀도 $D = \epsilon E$의 관계에서 출발합니다. $I = \int J \cdot dS = \frac{1}{\rho} \int E \cdot dS$이고, 가우스 법칙에 의해 $\int E \cdot dS = \frac{Q}{\epsilon}$입니다. 따라서 $I = \frac{Q}{\rho \epsilon}$가 되며, $R = \frac{V}{I}$와 $C = \frac{Q}{V}$를 대입하면 $RC = \rho \epsilon$이 도출됩니다.

문제 탐색

전류에 관련된 제현상

전기기사 필기 2014년 3회 20번

Q: 반구형 도체가 아닌 구형 도체가 대지 속에 완전히 묻혀있다면 접지저항은 어떻게 되나요?

구형 도체가 대지 속에 완전히 묻혀있을 경우 정전용량은 $C = 4\pi\epsilon a$가 됩니다. 따라서 접지저항은 $R = \frac{\rho \epsilon}{4\pi\epsilon a} = \frac{\rho}{4\pi a}$가 됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 전계의 특수 해법 및 전류
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

반지름

a [m]

의 반구형 도체를 대지표면에 그림과 같이 묻었을 때 접지저항

r [Ω]

은? (단,

ρ [Ω \cdot m]

는 대지의 고유저항이다.)

유사 문제 링크

2004-1-q16 2005-3-q16 2007-3-q14 2021-3-q2 2020-2-q6

선택지 분석

\frac{ρ}{2 π a}

정답 상세 해설

반구형 도체의 접지저항은 정전용량과 저항의 관계식을 이용하여 도출할 수 있으며, 정답은

\frac{ρ}{2 π a}

입니다.

•

Step 1: 매질의 고유저항이

ρ

, 유전율이

ϵ

일 때, 저항

R

과 정전용량

C

사이에는

R C = ρ ϵ

의 관계가 성립합니다.

•

Step 2: 반지름이

a

인 구형 도체의 정전용량은

4 π ϵ a

이므로, 대지 표면에 묻힌 반구형 도체의 정전용량은 그 절반인

C = 2 π ϵ a

입니다.

•

Step 3: 관계식

R = \frac{ρ ϵ}{C}

에 반구형 도체의 정전용량

C = 2 π ϵ a

를 대입하면

R = \frac{ρ ϵ}{2 π ϵ a} = \frac{ρ}{2 π a}

가 됩니다.

\frac{ρ}{4 π a}

오답 함정 분석

반구형이 아닌 온전한 구형 도체의 접지저항을 구하는 공식으로 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{ρ}{2 π a ρ}

오답 함정 분석

저항과 정전용량의 관계식에서 고유저항의 위치를 잘못 적용하여 분모에 고유저항이 포함된 오답입니다.

\frac{ρ}{4 π a ρ}

오답 함정 분석

구형 도체의 접지저항 공식에 고유저항의 위치까지 잘못 적용한 오답입니다.

자주 묻는 질문

저항과 정전용량의 관계식

R C = ρ ϵ

은 어떻게 유도되나요?

전류 밀도

J = \frac{E}{ρ}

와 전속 밀도

D = ϵ E

의 관계에서 출발합니다.

I = \int J \cdot d S = \frac{1}{ρ} \int E \cdot d S

이고, 가우스 법칙에 의해

\int E \cdot d S = \frac{Q}{ϵ}

입니다. 따라서

I = \frac{Q}{ρ ϵ}

가 되며,

R = \frac{V}{I}

와

C = \frac{Q}{V}

를 대입하면

R C = ρ ϵ

이 도출됩니다.

반구형 도체가 아닌 구형 도체가 대지 속에 완전히 묻혀있다면 접지저항은 어떻게 되나요?

구형 도체가 대지 속에 완전히 묻혀있을 경우 정전용량은

C = 4 π ϵ a

가 됩니다. 따라서 접지저항은

R = \frac{ρ ϵ}{4 π ϵ a} = \frac{ρ}{4 π a}

가 됩니다.

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