샘플값제어

전기기사 필기 2015년 2회 65번

Q: $z$ 변환에서 $e^{-at}$의 변환 결과 분모가 왜 마이너스(-) 부호를 가지나요?

$z$ 변환의 정의에 따라 무한 등비급수의 합을 구할 때, 공비가 $e^{-aT}z^{-1}$이므로 $\frac{1}{1-공비}$ 형태가 되어 분모에 마이너스 부호가 나타납니다.

Q: 문제의 보기에서 샘플링 주기 $T$ 대신 $t$가 사용된 이유는 무엇인가요?

엄밀하게는 샘플링 주기 $T$를 사용하여 $e^{-aT}$로 표현해야 하지만, 관행적으로 기출문제 등에서 $T$를 생략하거나 $t$로 혼용하여 표기하는 경우가 있습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

f (t) = k e^{- a t}

의

z

변환은?

유사 문제 링크

2003-3-q80 2004-3-q64 2016-3-q68 2011-3-q68 2017-3-q69

선택지 분석

\frac{K z}{z - e ^{- a t}}

정답 상세 해설

f (t) = k e^{- a t}

의

z

변환은

\frac{k z}{z - e ^{- a T}}

이며, 문제의 보기에 맞춰 표현하면

\frac{K z}{z - e ^{- a t}}

가 됩니다.

•

Step 1: 연속 시간 함수

f (t) = e^{- a t}

를 샘플링 주기

T

로 이산화하면

f (n T) = e^{- an T}

가 됩니다.

•

Step 2:

z

변환의 정의

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n}

에 대입하면,

\sum_{n = 0}^{\infty} e^{- an T} z^{- n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a T} z^{- 1})^{n}

입니다.

•

Step 3: 무한 등비급수의 합 공식을 적용하면

\frac{1}{1 - e ^{- a T} z ^{- 1}} = \frac{z}{z - e ^{- a T}}

가 됩니다.

•

Step 4: 상수

k

가 곱해진

f (t) = k e^{- a t}

의 경우 선형성에 의해

k

를 곱해주면

\frac{k z}{z - e ^{- a T}}

가 되며, 보기의 표기법(

k \to K

T \to t

)을 따르면

\frac{K z}{z - e ^{- a t}}

가 됩니다.

\frac{K z}{z + e ^{- a t}}

오답 함정 분석

무한 등비급수의 합 공식 적용 시 분모는

z - e^{- a t}

형태가 되어야 하나, 부호가 잘못 적용되었습니다.

\frac{z}{z - K e ^{- a t}}

오답 함정 분석

상수

K

는 선형성에 의해 전체 식(분자)에 곱해져야 하나, 분모의 지수항에 잘못 곱해졌습니다.

\frac{z}{z + K e ^{- a t}}

오답 함정 분석

분모의 부호가 잘못되었으며, 상수

K

의 위치도 분모로 잘못 배치되었습니다.

자주 묻는 질문

z

변환에서

e^{- a t}

의 변환 결과 분모가 왜 마이너스(-) 부호를 가지나요?

z

변환의 정의에 따라 무한 등비급수의 합을 구할 때, 공비가

e^{- a T} z^{- 1}

이므로

\frac{1}{1 - 공비}

형태가 되어 분모에 마이너스 부호가 나타납니다.

문제의 보기에서 샘플링 주기

T

대신

t

가 사용된 이유는 무엇인가요?

엄밀하게는 샘플링 주기

T

를 사용하여

e^{- a T}

로 표현해야 하지만, 관행적으로 기출문제 등에서

T

를 생략하거나

t

로 혼용하여 표기하는 경우가 있습니다.

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