상태공간해석

전기기사 필기 2003년 3회 80번

Q: 라플라스 변환 시 $I$가 붙는 이유는 무엇인가요?

$s$는 스칼라이고 $A$는 행렬이므로 직접 뺄셈을 할 수 없습니다. 따라서 단위행렬 $I$를 곱해 행렬 연산이 가능하도록 차원을 맞춰주는 것입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	memory
난이도	Level 2

Q문제

다음의 상태방정식으로 표시되는 제어계가 있다. 이 방정식의 해

\dot{X} (t) = A X (t)

의 값은 어떻게 되는가? (단,

X (0)

는 초기상태 벡터이다.)

유사 문제 링크

2004-3-q64 2016-3-q68 2011-3-q68 2017-3-q69 2003-3-q72

선택지 분석

e^{-At}X(0)

오답 함정 분석

지수 항의 부호가 음수(-)로 잘못 표기되어 있어 시스템의 올바른 응답을 나타내지 못합니다.

e^{At}X(0)

정답 상세 해설

상태방정식

\dot{X} (t) = A X (t)

의 일반해는 상태천이행렬

e^{A t}

와 초기값

X (0)

의 곱으로 표현됩니다.

•

Step 1: 주어진 미분방정식

\dot{X} (t) = A X (t)

의 양변을 라플라스 변환합니다. 초기조건을 고려하면

s X (s) - X (0) = A X (s)

가 됩니다.

•

Step 2:

X (s)

를 포함하는 항을 좌변으로 모아서 정리합니다.

(s I - A) X (s) = X (0)

이 되며, 양변의 왼쪽에 역행렬을 곱하면

X (s) = (s I - A)^{- 1} X (0)

을 얻습니다.

•

Step 3: 얻어진

X (s)

를 역라플라스 변환하여 시간 영역의 해

X (t)

를 구합니다. 정의에 의해

L^{- 1} {(s I - A)^{- 1}} = e^{A t}

이므로, 최종적인 해는

X (t) = e^{A t} X (0)

이 됩니다.

Ae^{-At}X(0)

오답 함정 분석

상태천이행렬 앞에 행렬 A가 곱해지고 지수 부호가 반대이므로 해의 형태가 아닙니다.

Ae^{At}X(0)

오답 함정 분석

이 식은 상태방정식의 해

X (t)

가 아니라 그 미분값인

\dot{X} (t)

를 나타내는 식입니다.

자주 묻는 질문

상태천이행렬

e^{A t}

는 무엇을 의미하나요?

시스템의 초기 상태가 시간이 경과함에 따라 어떻게 변화하는지를 결정하는 행렬로, 시스템의 고유한 동적 특성을 담고 있습니다.

라플라스 변환 시

I

가 붙는 이유는 무엇인가요?

s

는 스칼라이고

A

는 행렬이므로 직접 뺄셈을 할 수 없습니다. 따라서 단위행렬

I

를 곱해 행렬 연산이 가능하도록 차원을 맞춰주는 것입니다.

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