라플라스변환

전기기사 필기 2014년 3회 73번

Q: 최종값 정리를 항상 사용할 수 있나요?

함수 $sF(s)$의 모든 극점이 $s$ 평면의 좌반평면에 위치해야 하며, 허수축(원점 포함)에 극점이 있는 경우 시스템이 진동하거나 발산하므로 적용할 수 없습니다.

Q: 초깃값 정리와 극한의 방향이 어떻게 다른가요?

초깃값 정리는 $t \to 0$일 때 $s \to \infty$로 극한을 취하고, 최종값 정리는 $t \to \infty$일 때 $s \to 0$으로 극한을 취하는 역관계에 있습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	memory
난이도	Level 2

Q문제

f (t)

와

df / d t

는 라플라스 변환이 가능하며

L [f (t)]

를

F (s)

라고 할 때 최종값 정리는?

유사 문제 링크

2014-2-q70 2008-2-q63 2005-2-q70 2017-3-q78 2008-2-q65

선택지 분석

lim_{s \to 0} F (s)

오답 함정 분석

최종값 정리 공식에서

s

를 곱하는 과정이 누락되었습니다.

lim_{s \to \infty} s F (s)

오답 함정 분석

해당 식은 시간

t

가 0으로 갈 때의 값을 구하는 초깃값 정리 공식입니다.

lim_{s \to \infty} F (s)

오답 함정 분석

초깃값 정리에서

s

를 곱하지 않은 잘못된 형태입니다.

lim_{s \to 0} s F (s)

정답 상세 해설

최종값 정리는 시간 영역의 함수

f (t)

에서

t

가 무한대로 갈 때의 수렴값을

s

영역의 함수

F (s)

를 통해 구하는 방법입니다.

•

Step 1: 라플라스 변환의 미분 정리인

L [f^{'} (t)] = s F (s) - f (0)

식을 이용합니다.

•

Step 2: 위 식의 양변에

s

가 0으로 가는 극한(

lim_{s \to 0}

)을 취합니다.

•

Step 3: 좌변은

\int_{0}^{\infty} f^{'} (t) d t = f (\infty) - f (0)

이 되며, 우변의

f (0)

과 상쇄되어 최종적으로

f (\infty) = lim_{s \to 0} s F (s)

가 도출됩니다.

자주 묻는 질문

최종값 정리를 항상 사용할 수 있나요?

함수

s F (s)

의 모든 극점이

s

평면의 좌반평면에 위치해야 하며, 허수축(원점 포함)에 극점이 있는 경우 시스템이 진동하거나 발산하므로 적용할 수 없습니다.

초깃값 정리와 극한의 방향이 어떻게 다른가요?

초깃값 정리는

t \to 0

일 때

s \to \infty

로 극한을 취하고, 최종값 정리는

t \to \infty

일 때

s \to 0

으로 극한을 취하는 역관계에 있습니다.

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