라플라스변환

전기기사 필기 2008년 2회 65번

$e^{-at}$의 라플라스 변환은 $\frac{1}{s+a}$이며, $e^{at}$의 라플라스 변환은 $\frac{1}{s-a}$입니다. 부호에 주의해야 합니다.

Q문제

어느 함수가

f (t) = 1 - e^{- a t}

인 것을 라플라스 변환하면?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{s ^{2} ( s + a )}

단위 계단 함수와 지수 감쇠 함수의 라플라스 변환 결과를 잘못 결합하거나 통분 과정에서 분자를 1로 착각한 오답입니다.

\frac{a}{s ( s - a )}

지수 감쇠 함수

e^{- a t}

의 라플라스 변환을

\frac{1}{s - a}

로 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

\frac{1}{s ( s + a )}

통분 과정에서 분자에 남아야 할 상수

a

를 누락하여 도출된 오답입니다.

\frac{a}{s ( s + a )}

주어진 함수

f (t) = 1 - e^{- a t}

의 라플라스 변환은 선형성에 의해 각각의 항을 변환한 후 빼서 구합니다.

•

Step 1: 단위 계단 함수

1

의 라플라스 변환은

L {1} = \frac{1}{s}

입니다.

•

Step 2: 지수 감쇠 함수

e^{- a t}

의 라플라스 변환은

L {e^{- a t}} = \frac{1}{s + a}

입니다.

•

Step 3: 두 변환 결과를 빼고 통분합니다.

L {f (t)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + a} = \frac{( s + a ) - s}{s ( s + a )} = \frac{a}{s ( s + a )}

입니다.

라플라스 변환에서

e^{- a t}

와

e^{a t}

의 변환 결과는 어떻게 다른가요?

e^{- a t}

의 라플라스 변환은

\frac{1}{s + a}

이며,

e^{a t}

의 라플라스 변환은

\frac{1}{s - a}

입니다. 부호에 주의해야 합니다.

라플라스 변환의 선형성이란 무엇인가요?

상수배와 덧셈, 뺄셈으로 이루어진 함수의 라플라스 변환은 각각의 함수를 라플라스 변환한 후 동일하게 상수배, 덧셈, 뺄셈을 적용할 수 있다는 성질입니다.