상태공간해석

전기기사 필기 2014년 2회 69번

첫 번째 상태변수 $x_1$의 미분인 $\dot{x}_1$이 두 번째 상태변수 $x_2$와 같기 때문입니다. 따라서 $\dot{x}_1 = 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2$가 되어 첫 번째 행은 (0, 1)로 결정됩니다.

Q문제

69. 다음의 미분방정식으로 표시되는 시스템의 계수 행렬 A는 어떻게 표시되는가?

\frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} + 5 \frac{d c ( t )}{d t} + 3 c (t) = r (t)

유사 문제 링크

선택지 분석

(- 5 0 - 3 1)

상태방정식의 행과 열 구성을 완전히 반대로 이해하여 도출된 잘못된 행렬입니다.

(- 3 0 - 5 1)

상태변수의 미분 관계를 잘못 설정하여 행렬의 행 위치가 뒤바뀐 형태입니다.

(0 - 3 1 - 5)

주어진 2계 미분방정식을 상태방정식으로 변환하여 계수 행렬 A를 도출합니다.

•

Step 1: 상태변수를

x_{1} (t) = c (t)

x_{2} (t) = \frac{d c ( t )}{d t}

로 정의합니다.

•

Step 2: 상태변수의 미분 관계를 구합니다.

\overset{x}{˙}_{1} (t) = \frac{d c ( t )}{d t} = x_{2} (t)

가 됩니다.

•

Step 3: 주어진 미분방정식을 최고차항에 대해 정리하여

\overset{x}{˙}_{2} (t)

를 구합니다.

\frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} = - 3 c (t) - 5 \frac{d c ( t )}{d t} + r (t)

이므로,

\overset{x}{˙}_{2} (t) = - 3 x_{1} (t) - 5 x_{2} (t) + r (t)

가 됩니다.

•

Step 4: 구한 관계식을 행렬 형태로 변환합니다.

(\overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2}) = (0 - 3 1 - 5) (x_{1} x_{2}) + (01) r (t)

가 됩니다.

•

Step 5: 따라서 시스템의 계수 행렬 A는

(0 - 3 1 - 5)

입니다.

(0 - 5 1 - 3)

상태방정식에서

x_{1}

과

x_{2}

의 계수 위치를 혼동하여 -3과 -5의 위치가 바뀐 형태입니다.

상태변수는 어떻게 설정하나요?

주어진 미분방정식의 최고차항보다 한 차수 낮은 도함수까지를 각각의 상태변수로 설정합니다. 이 문제에서는 2계 미분방정식이므로

c (t)

와

\frac{d c ( t )}{d t}

를 상태변수로 설정합니다.

계수 행렬 A의 첫 번째 행이 (0, 1)이 되는 이유는 무엇인가요?

첫 번째 상태변수

x_{1}

의 미분인

\overset{x}{˙}_{1}

이 두 번째 상태변수

x_{2}

와 같기 때문입니다. 따라서

\overset{x}{˙}_{1} = 0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2}

가 되어 첫 번째 행은 (0, 1)로 결정됩니다.