근궤적과 자동제어의 보상

전기기사 필기 2003년 3회 79번

Q: 근궤적이 허수축과 교차한다는 것은 어떤 의미인가요?

제어계가 임계 안정 상태에 도달했음을 의미하며, 이때의 $K$값을 한계 이득이라고 합니다.

Q: 루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 판별법으로도 풀 수 있나요?

네, 가능합니다. 특성방정식 $s^3 + 6s^2 + 8s + K = 0$에서 루스 배열을 작성하면 $s^1$ 행이 $\frac{48-K}{6}$가 됩니다. 임계 안정 조건인 $K=48$을 보조방정식 $6s^2 + K = 0$에 대입하면 $s = \pm j\sqrt{8}$이 되어 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

개루프 전달함수

G (s) H (s) = \frac{K}{s ( s + 2 ) ( s + 4 )}

의 근궤적이

j ω

축과 교차하는 점은?

유사 문제 링크

2005-2-q72 2014-2-q63 2014-2-q65 2003-3-q69 2005-2-q79

선택지 분석

ω = \pm 2.828 [r a d / sec]

정답 상세 해설

특성방정식에

s = j ω

를 대입하여 실수부와 허수부가 각각 0이 되는 조건을 구하면 교차점을 찾을 수 있습니다.

•

Step 1: 특성방정식을 구합니다.

1 + G (s) H (s) = 0

1 + \frac{K}{s ( s + 2 ) ( s + 4 )} = 0

s (s + 2) (s + 4) + K = 0

s^{3} + 6 s^{2} + 8 s + K = 0

•

Step 2:

s = j ω

를 대입하여 실수부와 허수부를 분리합니다.

(j ω)^{3} + 6 (j ω)^{2} + 8 (j ω) + K = 0

- j ω^{3} - 6 ω^{2} + j 8 ω + K = 0

(K - 6 ω^{2}) + j (8 ω - ω^{3}) = 0

•

Step 3: 허수부가 0이 되는

ω

값을 구합니다.

8 ω - ω^{3} = 0

ω (8 - ω^{2}) = 0

ω = 0

또는

ω^{2} = 8

근궤적이 허수축과 교차하는 점은

ω \neq = 0

인 경우이므로,

ω = \pm 8 \approx \pm 2.828 [r a d / sec]

입니다.

ω = \pm 1.414 [r a d / sec]

오답 함정 분석

허수부 방정식에서

ω^{2} = 2

로 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

ω = \pm 5.657 [r a d / sec]

오답 함정 분석

허수부 방정식에서

ω^{2} = 32

로 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

ω = \pm 14.14 [r a d / sec]

오답 함정 분석

허수부 방정식에서

ω^{2} = 200

으로 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

근궤적이 허수축과 교차한다는 것은 어떤 의미인가요?

제어계가 임계 안정 상태에 도달했음을 의미하며, 이때의

K

값을 한계 이득이라고 합니다.

루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 판별법으로도 풀 수 있나요?

네, 가능합니다. 특성방정식

s^{3} + 6 s^{2} + 8 s + K = 0

에서 루스 배열을 작성하면

s^{1}

행이

\frac{48 - K}{6}

가 됩니다. 임계 안정 조건인

K = 48

을 보조방정식

6 s^{2} + K = 0

에 대입하면

s = \pm j 8

이 되어 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

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