전위

전기기사 필기 2014년 2회 3번

Q: 라플라시안($\nabla^2$) 연산자는 어떻게 계산하나요?

직각좌표계에서 스칼라 함수에 대한 라플라시안은 각 좌표축($x, y, z$)에 대해 두 번씩 편미분한 결과를 모두 더하여 계산합니다.

Q: 단위 $pC$는 무엇을 의미하나요?

$pC$는 피코쿨롱(pico-Coulomb)을 의미하며, $1 pC = 10^{-12} C$ 입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

어떤 공간의 비유전율은 2이고, 전위

V (x, y) = \frac{1}{x} + 2 x y^{2}

이라고 할 때 점

(\frac{1}{2}, 2)

에서의 전하밀도

ρ

는 약 몇

pC / m^{3}

인가?

유사 문제 링크

2016-2-q3 2016-3-q2 2016-2-q8 2012-2-q20 2003-2-q7

선택지 분석

-20

오답 함정 분석

라플라시안 계산 오류 또는 유전율 곱셈 과정을 누락하여 도출된 잘못된 값입니다.

-40

오답 함정 분석

편미분 과정에서 계수를 잘못 계산하거나 비유전율 값을 누락하여 도출된 잘못된 값입니다.

-160

오답 함정 분석

비유전율 값의 적용을 누락하여 계산된 잘못된 값입니다.

-320

정답 상세 해설

푸아송의 방정식(

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ}

)을 이용하여 주어진 전위 함수로부터 전하밀도를 계산할 수 있습니다.

•

Step 1: 푸아송의 방정식 적용 전하밀도

ρ

는

ρ = - ϵ \nabla^{2} V

로 구할 수 있습니다. 여기서 유전율

ϵ = ϵ_{0} ϵ_{r}

입니다.

•

Step 2: 전위

V

의 라플라시안(

\nabla^{2} V

) 계산

V (x, y) = x^{- 1} + 2 x y^{2}

에 대하여 각 변수로 두 번 편미분합니다.

x

에 대한 편미분:

\frac{\partial V}{\partial x} = - x^{- 2} + 2 y^{2}

\frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} = 2 x^{- 3} = \frac{2}{x ^{3}}

y

에 대한 편미분:

\frac{\partial V}{\partial y} = 4 x y

\frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} = 4 x

따라서

\nabla^{2} V = \frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} = \frac{2}{x ^{3}} + 4 x

입니다.

•

Step 3: 주어진 좌표 대입 점

(\frac{1}{2}, 2)

에서

x = \frac{1}{2}

이므로 이를 대입합니다.

\nabla^{2} V = \frac{2}{( \frac{1}{2} ) ^{3}} + 4 (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{1}{8}} + 2 = 16 + 2 = 18

입니다.

•

Step 4: 전하밀도

ρ

계산

ρ = - (ϵ_{0} \times ϵ_{r}) \times \nabla^{2} V = - (ϵ_{0} \times 2) \times 18 = - 36 ϵ_{0}

입니다. 진공의 유전율

ϵ_{0} \approx 8.854 \times 1 0^{- 12} [F / m]

이므로,

ρ = - 36 \times 8.854 \times 1 0^{- 12} \approx - 318.74 \times 1 0^{- 12} [C / m^{3}]

입니다. 단위를

pC / m^{3}

(

1 0^{- 12} C / m^{3}

)로 변환하면 약

- 319 pC / m^{3}

이며, 보기 중 가장 가까운 값은

- 320

입니다.

자주 묻는 질문

푸아송의 방정식은 언제 사용하나요?

공간 내의 전위 분포를 알고 있을 때, 그 공간에 존재하는 전하밀도를 구하거나 반대로 전하밀도를 알 때 전위 분포를 구하기 위해 사용합니다.

라플라시안(

\nabla^{2}

) 연산자는 어떻게 계산하나요?

직각좌표계에서 스칼라 함수에 대한 라플라시안은 각 좌표축(

x, y, z

)에 대해 두 번씩 편미분한 결과를 모두 더하여 계산합니다.

단위

pC

는 무엇을 의미하나요?

pC

는 피코쿨롱(pico-Coulomb)을 의미하며,

1 pC = 1 0^{- 12} C

입니다.

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