라플라스변환

전기기사 필기 2013년 2회 61번

Q문제

시간 지정이 있는 특수한 시스템이 미분 방정식

\frac{d}{d t} y (t) + y (t) = x (t - T)

로 표시될 때 이 시스템의 함수는?

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{- t} + e

라플라스 변환을 수행하지 않고 시간 영역의 해를 잘못 추정하거나 변환 공식을 오적용한 결과입니다.

e^{- s T} + \frac{1}{s}

입력 함수의 시간 지연을 덧셈으로 잘못 해석하고, 미분항의 변환을 누락한 결과입니다.

\frac{e ^{- s T}}{s ( s + 1 )}

입력 함수 x(t)를 단위 계단 함수 u(t)로 임의 가정하여 분모에 s가 추가로 곱해진 것으로 잘못 계산한 결과입니다.

\frac{e ^{- s T}}{s + 1}

주어진 미분 방정식을 라플라스 변환하여 전달함수 H(s) = Y(s)/X(s)를 구하면 e^{-sT}/(s+1)이 됩니다.

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Step 1: 미분 방정식의 좌변을 라플라스 변환합니다. 시스템 함수를 구하기 위해 초기 조건을 0으로 가정하면 L{d/dt y(t) + y(t)} = sY(s) + Y(s) = (s+1)Y(s)가 됩니다.

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Step 2: 미분 방정식의 우변을 라플라스 변환합니다. 라플라스 변환의 시간 추이 정리(Time Shifting Theorem)에 의해 L{x(t-T)} = e^{-sT}X(s)가 됩니다.

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Step 3: 양변을 등식으로 놓고 전달함수 H(s)를 계산합니다. (s+1)Y(s) = e^{-sT}X(s)이므로, H(s) = Y(s)/X(s) = e^{-sT}/(s+1)이 됩니다.

시스템 함수(전달함수)를 구하기 위해 초기 조건은 어떻게 처리하나요?

시스템의 전달함수를 구할 때는 원칙적으로 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 라플라스 변환을 수행합니다.

x(t-T)의 라플라스 변환은 어떻게 되나요?

라플라스 변환의 시간 추이 정리(Time Shifting Theorem)에 의해 시간 영역에서 T만큼 지연된 함수 x(t-T)는 s 영역에서 e^{-sT}X(s)로 변환됩니다.