라플라스변환

전기기사 필기 2008년 3회 70번

두 함수 $f(t)$와 $g(t)$에 대하여 $\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{L}\{f(t)\} + b\mathcal{L}\{g(t)\}$가 성립하는 성질을 의미합니다.

라플라스 변환의 정의식 $\int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-st} dt$를 계산하면 $\frac{1}{s+a}$가 도출됩니다.

Q문제

함수

f (t) = 1 - e^{- a t}

의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{a}{s}

라플라스 변환의 계산 과정에서 분모의 형태를 잘못 도출한 오답입니다.

\frac{1}{s + a}

e^{- a t}

단일 항에 대한 라플라스 변환 결과만을 나타낸 오답입니다.

\frac{1}{s ( s + a )}

두 항의 차를 통분하는 과정에서 분자의 상수를 1로 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{a}{s ( s + a )}

주어진 함수

f (t) = 1 - e^{- a t}

의 라플라스 변환은 선형성에 의해 각각의 항을 변환한 후 빼서 구합니다.

•

Step 1: 상수 함수

1

의 라플라스 변환을 구합니다.

L {1} = \frac{1}{s}

입니다.

•

Step 2: 지수 함수

e^{- a t}

의 라플라스 변환을 구합니다.

L {e^{- a t}} = \frac{1}{s + a}

입니다.

•

Step 3: 두 변환 결과를 빼고 통분하여 정리합니다.

L {1 - e^{- a t}} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + a} = \frac{( s + a ) - s}{s ( s + a )} = \frac{a}{s ( s + a )}

입니다.

라플라스 변환에서 선형성이란 무엇인가요?

두 함수

f (t)

와

g (t)

에 대하여

L {a f (t) + b g (t)} = a L {f (t)} + b L {g (t)}

가 성립하는 성질을 의미합니다.

e^{- a t}

의 라플라스 변환은 어떻게 유도되나요?

라플라스 변환의 정의식

\int_{0}^{\infty} e^{- a t} e^{- s t} d t

를 계산하면

\frac{1}{s + a}

가 도출됩니다.