과도현상

전기기사 필기 2013년 1회 66번

분모가 $s(s+2)$인 경우 $\frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}$ 형태로 두고 통분하여 원래의 분자와 계수를 비교함으로써 $A$와 $B$의 값을 구합니다.

Q문제

미분방정식이

\frac{d i ( t )}{d t} + 2 i (t) = 1

일 때

i (t)

는? (단,

t = 0

에서

i (0) = 0

이다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{2} (1 - e^{- 2 t})

주어진 미분방정식을 라플라스 변환하여 풀이하면 정답을 도출할 수 있습니다.

•

Step 1: 주어진 미분방정식의 양변을 라플라스 변환합니다.

L {\frac{d i ( t )}{d t}} + 2 L {i (t)} = L {1}

•

Step 2: 초기 조건

i (0) = 0

을 적용하여 식을 정리합니다.

s I (s) - i (0) + 2 I (s) = \frac{1}{s}

\Rightarrow

(s + 2) I (s) = \frac{1}{s}

•

Step 3:

I (s)

에 대해 정리하고 부분분수로 전개합니다.

I (s) = \frac{1}{s ( s + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 2})

•

Step 4: 역라플라스 변환을 수행하여

i (t)

를 구합니다.

i (t) = L^{- 1} {I (s)} = \frac{1}{2} (1 - e^{- 2 t})

\frac{1}{2} (1 - e^{- t})

역라플라스 변환 과정에서 지수 함수의 지수부가 -2t가 아닌 -t로 잘못 계산된 오답입니다.

\frac{1}{2} (1 + e^{t})

역라플라스 변환 과정에서 지수 함수의 부호와 지수부의 계수가 모두 잘못 계산된 오답입니다.

\frac{1}{2} (1 - e^{t})

역라플라스 변환 과정에서 지수 함수의 지수부 부호와 계수가 잘못 계산된 오답입니다.

라플라스 변환을 이용하지 않고 미분방정식을 직접 풀 수도 있나요?

네, 가능합니다. 1계 선형 상미분방정식의 해법인 제차해와 특수해의 합을 이용하여 풀 수 있으며, 결과는 동일하게 도출됩니다.

역라플라스 변환 시 부분분수 전개는 어떻게 하나요?

분모가

s (s + 2)

인 경우

\frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2}

형태로 두고 통분하여 원래의 분자와 계수를 비교함으로써

A

와

B

의 값을 구합니다.