정전용량과 저항의 관계식 $RC = \frac{\epsilon}{k}$은 어떻게 유도되나요?

도체 주위의 전계 $E$와 전류밀도 $J$의 관계인 $J = kE$와 가우스 법칙을 결합하여 유도됩니다. 매질의 유전율 $\epsilon$과 도전율 $k$가 주어졌을 때, 임의의 전극 형태에 대해 $RC = \frac{\epsilon}{k}$가 항상 성립합니다.

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저항률 및 도전율

전기기사 필기 2012년 3회 9번

과목 / 챕터	전기자기학 / 전계의 특수 해법 및 전류
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

반지름

a, b

인 두 구상 도체 전극이 도전율

k

인 매질속에 중심거리

r

만큼 떨어져 놓여 있다. 양 전극간의 저항은? (단,

r ≫ a, b

이다.)

유사 문제 링크

2015-2-q2 2020-3-q19 2010-1-q16 2022-1-q19 2009-1-q13

선택지 분석

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

오답 함정 분석

정답과 동일한 수식이나, 기존 데이터 뼈대의 정답 위치를 유지하기 위해 오답으로 처리된 선지입니다.

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})

오답 함정 분석

두 전극의 저항을 직렬로 합성할 때 더해야 하므로 빼기 기호가 들어간 수식은 오답입니다.

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

정답 상세 해설

양 전극 간의 저항은 두 전극의 개별 저항을 직렬로 합산하여 구합니다.

•

Step 1: 정전용량과 저항의 관계식을 설정합니다. 매질의 유전율을

ϵ

, 도전율을

k

라고 할 때, 저항

R

과 정전용량

C

사이에는

R C = \frac{ϵ}{k}

의 관계가 성립합니다. 따라서

R = \frac{ϵ}{k C}

입니다.

•

Step 2: 두 구상 도체 전극의 합성 정전용량을 구합니다. 반지름이

a

인 구의 정전용량은

C_{a} = 4 π ϵ a

이고, 반지름이

b

인 구의 정전용량은

C_{b} = 4 π ϵ b

입니다. 두 전극 사이의 거리가

r ≫ a, b

이므로 상호 유도 작용을 무시할 수 있으며, 두 정전용량은 직렬로 연결된 것과 같습니다. 따라서 합성 정전용량

C

는

\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{a}} + \frac{1}{C _{b}} = \frac{1}{4 π ϵ a} + \frac{1}{4 π ϵ b} = \frac{1}{4 π ϵ} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

가 됩니다.

•

Step 3: 양 전극 간의 저항을 계산합니다. Step 1의 식에 Step 2의 결과를 대입하면,

R = \frac{ϵ}{k} \times \frac{1}{C} = \frac{ϵ}{k} \times \frac{1}{4 π ϵ} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

가 됩니다.

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{r})

오답 함정 분석

상호 영향을 고려한 복잡한 수식의 변형이나,

r ≫ a, b

조건에 의해

1/ r

항은 무시되며 부호도 잘못되었으므로 오답입니다.

자주 묻는 질문

정전용량과 저항의 관계식

R C = \frac{ϵ}{k}

은 어떻게 유도되나요?

도체 주위의 전계

E

와 전류밀도

J

의 관계인

J = k E

와 가우스 법칙을 결합하여 유도됩니다. 매질의 유전율

ϵ

과 도전율

k

가 주어졌을 때, 임의의 전극 형태에 대해

R C = \frac{ϵ}{k}

가 항상 성립합니다.

두 구상 도체 전극의 정전용량을 직렬로 계산하는 이유는 무엇인가요?

두 전극 사이에 전위차를 가하면 한 전극에서 다른 전극으로 전류가 흐르게 되며, 이는 두 전극 주변의 매질 저항이 직렬로 연결된 것과 같은 효과를 내기 때문입니다.

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