라플라스변환

전기기사 필기 2005년 2회 64번

$t \ge 0$일 때 크기가 1이고, $t < 0$일 때 크기가 0인 함수입니다. 스위치를 켜는 동작을 수학적으로 표현할 때 주로 사용합니다.

시간 영역에서 함수가 $a$만큼 지연된 경우, 라플라스 변환 영역(s-domain)에서는 원래 함수의 변환 결과에 $e^{-as}$를 곱해주는 것을 의미합니다.

Q문제

f (t) = u (t - a) - u (t - b)

식으로 표시되는 구형파의 라플라스는?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{s} (e^{- a s} - e^{- b s})

주어진 구형파 함수

f (t) = u (t - a) - u (t - b)

의 라플라스 변환은 단위 계단 함수의 변환과 시간 추이 정리를 이용하여 구합니다.

•

Step 1: 단위 계단 함수

u (t)

의 라플라스 변환은

L {u (t)} = \frac{1}{s}

입니다.

•

Step 2: 시간 추이 정리(Time Shifting Theorem)에 의해

L {f (t - a) u (t - a)} = e^{- a s} F (s)

가 성립하므로,

L {u (t - a)} = \frac{1}{s} e^{- a s}

입니다.

•

Step 3: 라플라스 변환의 선형성에 따라 각 항을 변환하여 빼주면,

L {u (t - a) - u (t - b)} = \frac{1}{s} e^{- a s} - \frac{1}{s} e^{- b s} = \frac{1}{s} (e^{- a s} - e^{- b s})

가 됩니다.

\frac{1}{s ^{2}} (e^{- a s} - e^{- b s})

단위 계단 함수

u (t)

의 라플라스 변환은

\frac{1}{s}

이며,

\frac{1}{s ^{2}}

은 램프 함수(경사 함수)

t

의 라플라스 변환입니다.

\frac{1}{s} (e^{a s} + e^{b s})

시간 지연

t - a

에 대한 라플라스 변환은 지수항의 부호가 음수인

e^{- a s}

로 나타나며, 주어진 함수는 두 항의 차이이므로 뺄셈 기호가 유지되어야 합니다.

\frac{1}{s ^{2}} (e^{a s} + e^{b s})

단위 계단 함수의 변환은

\frac{1}{s}

이고 시간 지연에 따른 지수항의 부호는 음수이어야 하며, 두 항의 연산은 뺄셈이어야 합니다.

단위 계단 함수

u (t)

란 무엇인가요?

t \geq 0

일 때 크기가 1이고,

t < 0

일 때 크기가 0인 함수입니다. 스위치를 켜는 동작을 수학적으로 표현할 때 주로 사용합니다.

시간 추이 정리(Time Shifting Theorem)는 어떤 의미인가요?

시간 영역에서 함수가

a

만큼 지연된 경우, 라플라스 변환 영역(s-domain)에서는 원래 함수의 변환 결과에

e^{- a s}

를 곱해주는 것을 의미합니다.