회로의 전달 함수

전기기사 필기 2011년 3회 72번

커패시터의 전압 강하는 $\frac{1}{C} \int i(t) dt$이며, 이를 라플라스 변환하면 적분 정리에 의해 $\frac{1}{Cs} I(s)$가 됩니다.

Q문제

다음 회로에서 입력을

V (t)

, 출력을

i (t)

로 했을 때의 입출력 전달 함수는? (단, 스위치 s는

t = 0

인 순간에 회로 전압을 공급한다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{s}{R ( s + \frac{1}{R C} )}

RC 직렬 회로의 미분 방정식을 라플라스 변환하여 입출력 전달함수를 구하면

\frac{s}{R ( s + \frac{1}{R C} )}

가 됩니다.

•

Step 1: 회로의 미분 방정식 세우기 키르히호프의 전압 법칙(KVL)에 의해 입력 전압

V (t)

는 저항과 커패시터에 걸리는 전압의 합과 같습니다.

V (t) = R i (t) + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i (τ) d τ

•

Step 2: 라플라스 변환 적용하기 초기 조건을 0으로 가정하고 양변을 라플라스 변환합니다.

V (s) = R I (s) + \frac{1}{C s} I (s)

V (s) = I (s) (R + \frac{1}{C s})

•

Step 3: 전달함수 도출하기 입력

V (s)

에 대한 출력

I (s)

의 비를 구합니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{1}{R + \frac{1}{C s}}

분모와 분자에

s

를 곱하고 분모를

R

로 묶어 정리합니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{s}{R s + \frac{1}{C}} = \frac{s}{R ( s + \frac{1}{R C} )}

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{1}{R C ( s + \frac{1}{R C} )}

분자에 s가 누락되어 올바른 전달함수 형태가 아닙니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{s}{R C s + 1}

정상적인 전달함수 도출 과정에서 분자에 C가 누락된 잘못된 수식입니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{R C s}{R C s + 1}

분자에 불필요한 R이 곱해져 있어 올바른 전달함수가 아닙니다.

초기 조건을 0으로 가정하는 이유는 무엇인가요?

전달함수는 시스템의 고유한 특성을 나타내기 위해 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 입력과 출력의 라플라스 변환 비로 정의하기 때문입니다.

커패시터의 전압 강하를 라플라스 변환하면 어떻게 되나요?

커패시터의 전압 강하는

\frac{1}{C} \int i (t) d t

이며, 이를 라플라스 변환하면 적분 정리에 의해

\frac{1}{C s} I (s)

가 됩니다.