가우스의 정리

전기기사 필기 2012년 1회 20번

도체 표면의 미소 면적을 통과하는 전속은 그 면적에 포함된 전하량과 같습니다. 따라서 전속밀도 $D = \rho$ (면전하 밀도)가 되며, $D = \epsilon_0 E$이므로 $E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$가 성립합니다.

Q문제

자유공간에서 점

P (5, - 2, 4)

가 도체면상에 있으며, 이 점에서의 전계

E = 6 a_{x} - 2 a_{y} + 3 a_{z} [V / m]

이다. 점

P

에서의 면전하 밀도

ρ [C / m^{2}]

은?

유사 문제 링크

선택지 분석

- 2 ϵ_{0}

전계 벡터의 전체 크기를 구하지 않고 y성분의 값만을 사용하여 잘못 계산한 결과입니다.

3 ϵ_{0}

전계 벡터의 전체 크기를 구하지 않고 z성분의 값만을 사용하여 잘못 계산한 결과입니다.

6 ϵ_{0}

전계 벡터의 전체 크기를 구하지 않고 x성분의 값만을 사용하여 잘못 계산한 결과입니다.

7 ϵ_{0}

도체 표면에서의 면전하 밀도는 전계의 크기와 유전율의 곱으로 계산되며, 정답은

7 ϵ_{0}

입니다.

•

Step 1: 도체 표면에서의 전계와 면전하 밀도의 관계 확인 도체 표면에서의 전계

E

는 표면에 수직이며, 가우스의 정리에 의해 그 크기는

E = \frac{ρ}{ϵ _{0}}

입니다. (단,

ρ

는 면전하 밀도,

ϵ_{0}

는 진공의 유전율)

•

Step 2: 주어진 전계 벡터의 크기 계산 주어진 전계 벡터

E = 6 a_{x} - 2 a_{y} + 3 a_{z}

의 크기

∣ E ∣

를 구합니다.

∣ E ∣ = 6^{2} + (- 2)^{2} + 3^{2} = 36 + 4 + 9 = 49 = 7 [V / m]

입니다.

•

Step 3: 면전하 밀도 도출

∣ E ∣ = \frac{ρ}{ϵ _{0}} = 7

이므로, 면전하 밀도

ρ = 7 ϵ_{0} [C / m^{2}]

가 됩니다.

도체 표면에서 전계의 방향은 어떻게 되나요?

도체 표면에서 전계는 항상 도체 표면에 수직인 방향으로 형성됩니다. 도체 내부의 전계는 0이므로 표면 전하에 의해 외부로만 전계가 발생합니다.

가우스의 정리를 도체 표면에 어떻게 적용하나요?

도체 표면의 미소 면적을 통과하는 전속은 그 면적에 포함된 전하량과 같습니다. 따라서 전속밀도

D = ρ

(면전하 밀도)가 되며,

D = ϵ_{0} E

이므로

E = \frac{ρ}{ϵ _{0}}

가 성립합니다.