회로의 전달 함수

전기기사 필기 2011년 1회 67번

Q: 미분 방정식을 라플라스 변환할 때 미분항은 어떻게 변환되나요?

초기 조건이 모두 0일 때, 시간 영역에서의 1계 미분 $\frac{dy(t)}{dt}$는 라플라스 영역에서 $sY(s)$로 변환되며, 2계 미분 $\frac{d^2y(t)}{dt^2}$는 $s^2Y(s)$로 변환됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

어떤 시스템을 표시하는 미분 방정식이

2 \frac{d ^{2} y ( t )}{d t ^{2}} + 3 \frac{d y ( t )}{d t} + 4 y (t) = \frac{d x ( t )}{d t} + 3 x (t)

인 경우

x (t)

를 입력,

y (t)

를 출력이라 하면, 이 시스템의 전달함수는? (단, 모든 초기 조건은 0이다.)

유사 문제 링크

2015-1-q73 2004-1-q63 2004-1-q69 2003-1-q70 2017-1-q78

선택지 분석

G (s) = \frac{s + 3}{2 s ^{2} + 3 s + 4}

정답 상세 해설

주어진 선형 상미분 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 시스템의 전달함수를 구하는 문제입니다.

•

Step 1: 모든 초기 조건이 0이므로, 시간 영역의 미분 연산자

\frac{d}{d t}

는 라플라스 영역에서

s

로,

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}}

는

s^{2}

으로 변환됩니다.

•

Step 2: 주어진 미분 방정식의 양변을 라플라스 변환하면

2 s^{2} Y (s) + 3 s Y (s) + 4 Y (s) = s X (s) + 3 X (s)

가 됩니다.

•

Step 3: 변환된 식을 출력

Y (s)

와 입력

X (s)

에 대해 묶어서 정리하면

Y (s) (2 s^{2} + 3 s + 4) = X (s) (s + 3)

이 됩니다.

•

Step 4: 시스템의 전달함수

G (s)

는 입력에 대한 출력의 비인

\frac{Y ( s )}{X ( s )}

로 정의되므로, 식을 정리하면

G (s) = \frac{s + 3}{2 s ^{2} + 3 s + 4}

입니다.

G (s) = \frac{s - 3}{2 s ^{2} - 3 s + 4}

오답 함정 분석

미분 방정식을 라플라스 변환하는 과정에서 1차 미분항 및 입력항의 부호를 잘못 적용한 오답입니다.

G (s) = \frac{s + 3}{2 s ^{2} + 3 s - 4}

오답 함정 분석

미분 방정식을 라플라스 변환하는 과정에서 출력측 상수항의 부호를 잘못 적용한 오답입니다.

G (s) = \frac{s - 3}{2 s ^{2} - 3 s - 4}

오답 함정 분석

미분 방정식을 라플라스 변환하는 과정에서 여러 항의 부호를 전반적으로 잘못 적용한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전달함수를 구할 때 왜 모든 초기 조건을 0으로 가정하나요?

전달함수는 시스템 자체의 고유한 동적 특성만을 나타내기 위해 정의됩니다. 초기 조건이 존재하면 입력에 의한 응답 외에 초기 상태에 의한 응답이 추가되므로, 순수한 입출력 관계를 파악하기 위해 초기 조건을 0으로 가정합니다.

미분 방정식을 라플라스 변환할 때 미분항은 어떻게 변환되나요?

초기 조건이 모두 0일 때, 시간 영역에서의 1계 미분

\frac{d y ( t )}{d t}

는 라플라스 영역에서

s Y (s)

로 변환되며, 2계 미분

\frac{d ^{2} y ( t )}{d t ^{2}}

는

s^{2} Y (s)

로 변환됩니다.

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