라플라스변환

전기기사 필기 2010년 1회 76번

함수가 $e^{at}$일 때 변환 결과는 $1/(s-a)$가 되므로, 지수부의 계수 $a$의 부호를 반대로 하여 $s$에서 빼주면 됩니다.

$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)$이므로 각 항을 변환하여 더하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

Q문제

e^{j ω t}

의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

1/ (s - j ω)

지수함수

e^{a t}

의 라플라스 변환 공식

L [e^{a t}] = \frac{1}{s - a}

에

a = j ω

를 대입하여 산출합니다.

•

Step 1: 라플라스 변환의 정의식

L [f (t)] = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

에

f (t) = e^{j ω t}

를 대입합니다.

•

Step 2: 지수 법칙에 의해 피적분 함수를

e^{- (s - j ω) t}

로 정리합니다.

•

Step 3: 적분을 수행하면

[- \frac{1}{s - j ω} e^{- (s - j ω) t}]_{0}^{\infty}

이 되며, 상한값 대입 시 0이 되므로 최종 결과는

\frac{1}{s - j ω}

입니다.

1/ (s + ω)

지수부의 허수 단위

j

를 누락하고 일반적인 지수감쇠 함수

e^{- ω t}

의 변환 결과와 혼동한 선지입니다.

1/ (s^{2} + ω^{2})

코사인 함수의 변환 결과에서 분자의

s

를 누락하거나 사인 함수의 변환 결과와 혼동한 형태입니다.

ω / (s^{2} + ω^{2})

사인 함수

sin (ω t)

의 라플라스 변환 결과입니다.

지수함수의 라플라스 변환에서 분모의 부호는 어떻게 결정되나요?

함수가

e^{a t}

일 때 변환 결과는

1/ (s - a)

가 되므로, 지수부의 계수

a

의 부호를 반대로 하여

s

에서 빼주면 됩니다.

오일러 공식을 사용하여 풀 수도 있나요?

e^{j ω t} = cos (ω t) + j sin (ω t)

이므로 각 항을 변환하여 더하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.