상태공간해석

전기기사 필기 2008년 2회 72번

Q: 가제어성 행렬과 가관측성 행렬은 어떻게 구성하나요?

n차 시스템에서 가제어성 행렬은 $[B, AB, A^2B, \dots, A^{n-1}B]$로 구성하며, 가관측성 행렬은 행렬의 행으로 $[C, CA, CA^2, \dots, CA^{n-1}]^T$ 형태로 구성합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

아래 상태방정식, 출력 방정식에 대한 설명 중 맞는 것은? [상태 방정식]

\frac{d}{d t} x (t) = A x (t) + B u (t)

[출력 방정식]

y (t) = C x (t)

A = - 1 00 2 - 4 1 30 - 6, B = 001, C = [100]

유사 문제 링크

2004-3-q80 2009-2-q73 2004-3-q65 2008-2-q76 2014-2-q68

선택지 분석

이 시스템은 가제어(controllable)하고, 가관측(observable)하다.

오답 함정 분석

가제어성 행렬의 행렬식이 0이므로 가제어하지 않습니다.

이 시스템은 가제어(controllable)하나, 가관측하지 않다(unobservable).

오답 함정 분석

가제어성 행렬의 행렬식이 0이므로 가제어하지 않으며, 가관측성 행렬의 행렬식이 0이 아니므로 가관측합니다.

이 시스템은 가제어하지 않으나(uncontrollable), 가관측하다(observable).

정답 상세 해설

이 시스템은 가제어성 행렬의 행렬식이 0이므로 가제어하지 않으며, 가관측성 행렬의 행렬식이 0이 아니므로 가관측합니다.

•

Step 1: 가제어성(Controllability) 판별

•

가제어성 행렬

U_{c} = [B A B A^{2} B]

를 구합니다.

•

B = 001

•

A B = - 1 00 2 - 4 1 30 - 6 001 = 30 - 6

•

A^{2} B = A (A B) = - 1 00 2 - 4 1 30 - 6 30 - 6 = - 21 036

•

U_{c} = 001 30 - 6 - 21 036

이며, 두 번째 행이 모두 0이므로 행렬식

∣ U_{c} ∣ = 0

입니다. 따라서 시스템은 가제어하지 않습니다(uncontrollable).

•

Step 2: 가관측성(Observability) 판별

•

가관측성 행렬

U_{o} = C C A C A^{2}

를 구합니다.

•

C = [100]

•

C A = [100] - 1 00 2 - 4 1 30 - 6 = [- 1 23]

•

C A^{2} = (C A) A = [- 1 23] - 1 00 2 - 4 1 30 - 6 = [1 - 7 - 21]

•

U_{o} = 1 - 1 1 02 - 7 03 - 21

이며, 행렬식

∣ U_{o} ∣ = 1 \times (2 \times (- 21) - 3 \times (- 7)) = - 21 \neq = 0

입니다. 따라서 시스템은 가관측합니다(observable).

이 시스템은 가제어하지 않고(uncontrollable), 가관측하지 않다(unobservable).

오답 함정 분석

가관측성 행렬의 행렬식이 0이 아니므로 가관측합니다.

자주 묻는 질문

가제어성 행렬과 가관측성 행렬은 어떻게 구성하나요?

n차 시스템에서 가제어성 행렬은

[B, A B, A^{2} B, \dots, A^{n - 1} B]

로 구성하며, 가관측성 행렬은 행렬의 행으로

[C, C A, C A^{2}, \dots, C A^{n - 1}]^{T}

형태로 구성합니다.

행렬식이 0이 되는 것은 어떤 의미인가요?

행렬식이 0이라는 것은 행렬의 랭크(rank)가 시스템의 차수 n보다 작다는 것을 의미합니다. 가제어성 행렬의 행렬식이 0이면 가제어하지 않고, 가관측성 행렬의 행렬식이 0이면 가관측하지 않음을 나타냅니다.

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