4단자 및 2단자

전기기사 필기 2008년 2회 68번

주파수가 매우 높아지면 커패시터의 리액턴스($1/\omega C$)가 0에 수렴하여 단락 상태가 되므로, 병렬로 연결된 전체 회로의 임피던스도 0이 됩니다.

Q문제

저항

R

, 커패시턴스

C

의 병렬회로에서 전원 주파수가 변할 때의 임피던스 궤적은?

유사 문제 링크

선택지 분석

제1상한 내의 반직선

RC 병렬회로의 임피던스는 커패시턴스 성분으로 인해 허수부가 음의 값을 가지므로 제1상한에 위치할 수 없습니다.

제1상한 내의 반원

임피던스 궤적의 허수 성분이 음수이므로 복소평면의 위쪽인 제1상한이 아닌 아래쪽인 제4상한에 형성됩니다.

제4상한 내의 반원

RC 병렬회로의 임피던스 궤적은 주파수가 0에서 무한대로 변함에 따라 제4상한에서 반원을 형성합니다.

•

Step 1: 병렬회로의 합성 임피던스

Z

를 구하면

Z = \frac{1}{\frac{1}{R} + j ω C} = \frac{R}{1 + j ω R C}

입니다.

•

Step 2: 분모를 유리화하여 실수부와 허수부로 분리하면

Z = \frac{R ( 1 - j ω R C )}{1 + ( ω R C ) ^{2}} = \frac{R}{1 + ( ω R C ) ^{2}} - j \frac{ω R ^{2} C}{1 + ( ω R C ) ^{2}}

가 됩니다.

•

Step 3: 주파수

ω

가 0일 때

Z = R

이고

ω

가 무한대일 때

Z = 0

이 되며, 허수부가 항상 음수이므로 제4상한에서 지름이

R

인 반원 궤적을 그리게 됩니다.

제4상한 내의 반직선

주파수 변화에 따른 임피던스 식은 원의 방정식을 만족하므로 직선 형태의 궤적이 나타나지 않습니다.

왜 제4상한에 궤적이 그려지나요?

커패시턴스(C) 성분은 임피던스의 허수부를 음수(리액턴스)로 만들기 때문입니다. 복소평면에서 허수부가 음수인 영역은 제4상한에 해당합니다.

주파수가 무한대일 때 임피던스가 0이 되는 이유는 무엇인가요?

주파수가 매우 높아지면 커패시터의 리액턴스(

1/ ω C

)가 0에 수렴하여 단락 상태가 되므로, 병렬로 연결된 전체 회로의 임피던스도 0이 됩니다.