전위

전기기사 필기 2008년 2회 18번

직각좌표계에서 스칼라 함수에 대한 라플라시안은 각 $x, y, z$ 축에 대해 두 번씩 편미분한 결과를 모두 더하여 계산합니다.

Q문제

전위함수

V = 5 x^{2} y + z [V]

일 때 점

(2, - 2, 2)

에서 체적 전하밀도

ρ [C / m^{3}]

의 값은? (단,

ε_{0}

는 자유공간의 유전율이다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

5 ε_{0}

라플라시안 계산 시 편미분 과정에서 계수를 잘못 적용하거나 좌표값을 잘못 대입하여 도출된 오답입니다.

10 ε_{0}

라플라시안 계산 후

y

좌표값 대신 다른 좌표값이나 상수를 잘못 대입하여 도출된 오답입니다.

20 ε_{0}

푸아송의 방정식

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ε _{0}}

를 이용하여 체적 전하밀도

ρ

를 구합니다.

•

Step 1: 주어진 전위함수

V = 5 x^{2} y + z

에 대해 라플라시안(

\nabla^{2} V

)을 계산합니다.

\frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (10 x y) = 10 y

\frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (5 x^{2}) = 0

\frac{\partial ^{2} V}{\partial z ^{2}} = \frac{\partial}{\partial z} (1) = 0

따라서

\nabla^{2} V = 10 y

입니다.

•

Step 2: 점

(2, - 2, 2)

에서의

\nabla^{2} V

값을 구합니다.

y = - 2

이므로

\nabla^{2} V = 10 \times (- 2) = - 20

입니다.

•

Step 3: 푸아송의 방정식에 대입하여 체적 전하밀도

ρ

를 산출합니다.

ρ = - ε_{0} \nabla^{2} V = - ε_{0} \times (- 20) = 20 ε_{0}

입니다.

25 ε_{0}

전위함수를 미분하는 과정에서 차수 계산 오류가 발생하여 잘못된 결과가 도출된 오답입니다.

푸아송의 방정식은 언제 사용하나요?

전위 분포를 알고 있을 때 공간 내의 체적 전하밀도를 구하거나, 반대로 전하밀도를 통해 전위 분포를 해석할 때 사용합니다.

라플라시안(

\nabla^{2}

) 연산자는 어떻게 계산하나요?

직각좌표계에서 스칼라 함수에 대한 라플라시안은 각

x, y, z

축에 대해 두 번씩 편미분한 결과를 모두 더하여 계산합니다.