상태공간해석

전기기사 필기 2008년 1회 76번

상태 방정식 $\dot{x} = Ax + Bu$에서 시스템 행렬 $A$의 크기가 $n \times n$일 때, 이 시스템은 $n$차 제어계입니다.

Q문제

다음과 같은 상태 방정식으로 표현되는 제어계에 대한 서술 중 바르지 못한 것은?

\overset{x}{˙} = [0 - 2 1 - 3] x + [10 1 - 2] u

유사 문제 링크

선택지 분석

이 제어계는 2차 제어계이다.

시스템 행렬 A가 2x2 행렬이므로 2차 제어계가 맞습니다.

이 제어계는 부족 제동된 상태이다.

이 제어계의 특성근이 서로 다른 두 음의 실수이므로 과제동(Overdamped) 상태입니다. 따라서 부족 제동이라는 설명은 바르지 않습니다.

•

Step 1: 시스템 행렬 A를 확인합니다. 주어진 상태 방정식에서 시스템 행렬

A = [0 - 2 1 - 3]

입니다.

•

Step 2: 특성방정식을 구합니다. 특성방정식은

∣ s I - A ∣ = 0

으로 계산합니다.

∣ s I - A ∣ = s 2 - 1 s + 3 = s (s + 3) - (- 1) (2) = s^{2} + 3 s + 2 = 0

입니다.

•

Step 3: 특성근을 구하고 제동 상태를 판별합니다. 특성방정식을 인수분해하면

(s + 1) (s + 2) = 0

이 되며, 특성근은

s = - 1, - 2

입니다. 특성근이 모두 서로 다른 음의 실수이므로 이 제어계는 과제동 상태입니다.

x

는

2 \times 1

의 계위를 갖는다.

시스템 행렬 A가 2x2이므로 상태 변수 벡터 x는 2x1 행렬이 맞습니다.

(s + 1) (s + 2)

이 특성방정식이다.

특성방정식 |sI - A| = 0을 계산하면 s^2 + 3s + 2 = 0이 되므로 (s+1)(s+2) = 0이 맞습니다.

제동 상태는 어떻게 판별하나요?

특성방정식의 근을 통해 판별합니다. 서로 다른 두 실근이면 과제동, 중근이면 임계 제동, 공액 복소근이면 부족 제동, 순허수근이면 무제동 상태입니다.

상태 방정식에서 시스템의 차수는 어떻게 알 수 있나요?

상태 방정식

\overset{x}{˙} = A x + B u

에서 시스템 행렬

A

의 크기가

n \times n

일 때, 이 시스템은

n

차 제어계입니다.