안정도판별법

전기기사 필기 2006년 3회 72번

Q문제

폐루프 전달함수

G (s)

가

\frac{8}{( s + 2 ) ^{3}}

일 때 근궤적의 허수축과의 교점이

64

이면 이득 여유는 약 몇

d B

인가?

유사 문제 링크

선택지 분석

이득의 비를 2로 잘못 계산하여 20log(2)를 적용한 오답입니다.

이득의 비를 4로 잘못 계산하여 20log(4)를 적용한 오답입니다.

주어진 시스템의 이득 여유는 약 18dB입니다.

•

Step 1: 이득 여유(Gain Margin, GM)의 공식을 확인합니다. 이득 여유

GM = 20 lo g_{10} (\frac{K _{c}}{K})

입니다. 여기서

K_{c}

는 한계 이득(근궤적이 허수축과 교차할 때의 이득)이고,

K

는 현재 시스템의 이득입니다.

•

Step 2: 문제에서 주어진 전달함수

G (s) = \frac{8}{( s + 2 ) ^{3}}

의 분자를 통해 현재 시스템의 이득

K = 8

임을 알 수 있습니다.

•

Step 3: 문제의 조건에서 근궤적의 허수축과의 교점(임계 상태)에서의 이득

K_{c}

가 64라고 주어졌습니다.

•

Step 4: 이득 여유 공식에 대입하여 계산합니다.

GM = 20 lo g_{10} (\frac{64}{8}) = 20 lo g_{10} (8)

입니다.

•

Step 5: 로그를 계산하면

20 \times 3 lo g_{10} (2) \approx 60 \times 0.301 = 18.06 [dB]

가 됩니다. 따라서 약 18dB입니다.

이득의 비를 16으로 잘못 계산하여 20log(16)을 적용한 오답입니다.

이득 여유(Gain Margin)란 무엇인가요?

이득 여유는 현재 시스템의 이득 상태에서 시스템이 불안정해지기 전까지 이득을 얼마나 더 증가시킬 수 있는지를 데시벨(dB) 단위로 나타낸 지표입니다.

한계 이득(임계 이득)은 어떻게 알 수 있나요?

특성 방정식의 근이 복소평면의 허수축에 존재할 때의 이득 값으로, 루스-후르비츠 판별법이나 근궤적법을 통해 계산할 수 있습니다. 이 문제에서는 조건으로 64가 주어졌습니다.