전위

전기기사 필기 2008년 1회 4번

Q문제

진공 내에서 전위함수가

V = x^{2} + y^{2}

과 같이 주어질 때 점

(2, 2, 0) [m]

에서 체적전하밀도

ρ

는 몇

[C / m^{2}]

인가? (단,

ϵ_{0}

는 자유공간의 유전율이다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

- 4 ϵ_{0}

주어진 전위함수와 푸아송의 방정식을 이용하여 체적전하밀도를 구하면

- 4 ϵ_{0}

가 됩니다.

•

Step 1: 푸아송의 방정식은

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

입니다.

•

Step 2: 주어진 전위함수

V = x^{2} + y^{2}

에 대해 라플라시안(

\nabla^{2} V

)을 계산합니다.

\frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} = 2

\frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} = 2

\frac{\partial ^{2} V}{\partial z ^{2}} = 0

이므로

\nabla^{2} V = 2 + 2 + 0 = 4

입니다.

•

Step 3: 계산된 라플라시안 값을 푸아송의 방정식에 대입하여 체적전하밀도

ρ

를 구합니다.

4 = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

이므로

ρ = - 4 ϵ_{0}

입니다. (이 값은 위치에 관계없이 일정합니다.)

- 2 ϵ_{0}

라플라시안 계산 시 각 항의 미분 결과를 합산하지 않고 단일 항의 결과만 반영한 오답입니다.

4 ϵ_{0}

푸아송의 방정식에서 우변의 음수 부호를 누락하여 부호가 반대로 도출된 오답입니다.

2 ϵ_{0}

라플라시안 계산 오류와 푸아송의 방정식 부호 누락이 복합적으로 발생한 오답입니다.

푸아송의 방정식은 언제 사용하나요?

전위 분포를 알고 있을 때 공간 내의 체적전하밀도를 구하거나, 반대로 전하 분포를 알고 있을 때 전위 분포를 구할 때 사용합니다.

문제에서 주어진 점 (2, 2, 0)은 계산에 어떻게 적용되나요?

이 문제에서는 전위함수의 두 번 미분 결과가 상수로 나오기 때문에 위치 좌표에 관계없이 체적전하밀도가 일정합니다. 따라서 주어진 점의 좌표는 최종 결과에 영향을 주지 않습니다.