라플라스변환

전기기사 필기 2007년 3회 65번

시간 영역에서 함수에 $e^{-at}$를 곱하면, $s$ 영역에서는 $s$ 대신 $s+a$로 평행 이동하게 된다는 정리입니다.

Q문제

라플라스 함수

F (s) = \frac{4 s + 16}{s ^{2} + 8 s + 20}

에 대한 시간함수는?

유사 문제 링크

선택지 분석

4 e^{- 4 t} cos 2 t

주어진 라플라스 함수의 역변환 결과는

4 e^{- 4 t} cos 2 t

입니다. 분모를 완전제곱식으로 변형하여 복소추이 정리를 적용해 풀이합니다.

•

Step 1: 분모

s^{2} + 8 s + 20

을

(s + 4)^{2} + 2^{2}

로 완전제곱식 형태로 변형합니다.

•

Step 2: 분자

4 s + 16

을

4 (s + 4)

로 묶어 분모의

(s + 4)

형태와 맞춥니다.

•

Step 3: 전체 식을

F (s) = 4 \times \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 2 ^{2}}

로 정리합니다.

•

Step 4:

L^{- 1} {\frac{s + a}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}} = e^{- a t} cos ω t

공식을 적용하여

a = 4, ω = 2

를 대입하면

4 e^{- 4 t} cos 2 t

가 도출됩니다.

e^{- 4 t} cos 2 t

분자의 상수 4를 고려하지 않고 역변환한 오답입니다.

e^{- 4 t} sin 4 t

코사인 함수가 아닌 사인 함수로 잘못 변환하였으며, 상수항과 각주파수도 잘못 적용한 오답입니다.

4 e^{- t} sin 4 t

지수함수의 지수와 삼각함수의 종류 및 각주파수를 모두 잘못 적용한 오답입니다.

라플라스 역변환 시 분모를 완전제곱식으로 바꾸는 이유는 무엇인가요?

기본적인 라플라스 변환 공식(예: 사인, 코사인 함수에 지수함수가 곱해진 형태)을 적용하기 위해 표준 형태인

(s + a)^{2} + ω^{2}

꼴로 맞추기 위함입니다.

복소추이 정리란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수에

e^{- a t}

를 곱하면,

s

영역에서는

s

대신

s + a

로 평행 이동하게 된다는 정리입니다.