라플라스변환

전기기사 필기 2003년 1회 69번

Q: 단위 계단 함수란 무엇인가요?

단위 계단 함수 $u(t)$는 $t < 0$일 때 0이고, $t \ge 0$일 때 1의 값을 가지는 함수입니다. 스위치를 켜는 동작을 수학적으로 표현할 때 주로 사용합니다.

Q: 시간 지연 정리란 무엇인가요?

어떤 함수 $f(t)$가 시간 $a$만큼 지연된 $f(t-a)u(t-a)$의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환 $F(s)$에 $e^{-as}$를 곱한 것과 같다는 정리입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

69. 그림과 같은 구형파의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

2007-3-q69 2015-2-q78 2003-3-q62 2003-3-q67 2004-3-q68

선택지 분석

\frac{2}{s} (1 - e^{4 s})

오답 함정 분석

시간 지연 정리를 적용할 때 지수항의 부호는 음수(-as)가 되어야 하나, 양수로 잘못 표현되었습니다.

\frac{4}{s} (1 - e^{2 s})

오답 함정 분석

구형파의 진폭(2)과 지연 시간(4)을 반대로 적용하였으며, 지수항의 부호도 잘못되었습니다.

\frac{2}{s} (1 - e^{- 4 s})

정답 상세 해설

주어진 구형파 함수를 단위 계단 함수로 표현한 후 라플라스 변환을 적용하여 결과를 도출합니다.

•

Step 1: 주어진 그래프의 함수

f (t)

를 단위 계단 함수

u (t)

를 이용하여 수식으로 표현합니다.

f (t)

는

t = 0

부터

t = 4

까지 크기가 2인 구형파이므로

f (t) = 2 [u (t) - u (t - 4)]

로 나타낼 수 있습니다.

•

Step 2: 단위 계단 함수

u (t)

의 라플라스 변환은

\frac{1}{s}

입니다.

•

Step 3: 시간 지연 정리에 의해

u (t - a)

의 라플라스 변환은

\frac{e ^{- a s}}{s}

입니다. 따라서

u (t - 4)

의 라플라스 변환은

\frac{e ^{- 4 s}}{s}

가 됩니다.

•

Step 4:

f (t)

에 라플라스 변환을 적용하면

L {f (t)} = 2 (\frac{1}{s} - \frac{e ^{- 4 s}}{s}) = \frac{2}{s} (1 - e^{- 4 s})

가 됩니다.

\frac{4}{s} (1 - e^{- 2 s})

오답 함정 분석

구형파의 진폭(2)과 지연 시간(4)을 반대로 적용하여 수식을 도출했습니다.

자주 묻는 질문

단위 계단 함수란 무엇인가요?

단위 계단 함수

u (t)

는

t < 0

일 때 0이고,

t \geq 0

일 때 1의 값을 가지는 함수입니다. 스위치를 켜는 동작을 수학적으로 표현할 때 주로 사용합니다.

시간 지연 정리란 무엇인가요?

어떤 함수

f (t)

가 시간

a

만큼 지연된

f (t - a) u (t - a)

의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환

F (s)

에

e^{- a s}

를 곱한 것과 같다는 정리입니다.

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