샘플값제어

전기기사 필기 2007년 2회 72번

Q: $z$-변환에서 $e^{-at}$가 의미하는 것은 무엇인가요?

지수 감쇠 함수 $e^{-at}$를 샘플링 주기 $T$마다 추출하여 이산화한 값을 의미하며, $z$-변환 시 분모의 극점으로 나타납니다.

Q: 라플라스 변환과 $z$-변환의 가장 큰 차이점은 무엇인가요?

라플라스 변환은 연속 시간 시스템의 해석에 사용되고, $z$-변환은 샘플링된 이산 시간 시스템의 해석에 사용된다는 점이 가장 큰 차이입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	memory
난이도	Level 2

Q문제

z

-변환함수

z / (z - e^{- a t})

에 대응되는 라플라스 변환 함수는?

유사 문제 링크

2003-2-q66 2012-2-q69 2012-2-q61 2012-3-q68 2003-3-q73

선택지 분석

1/ (s + a)^{2}

오답 함정 분석

이 함수는 시간 영역에서

t e^{- a t}

에 해당하며,

z

-변환 시 분자에

T z e^{- a T}

항이 포함된 다른 형태를 가집니다.

1/ (1 - e^{- T s})

오답 함정 분석

이 식은 이산 시스템의 샘플링 주기와 관련된 표현식으로, 주어진

z

-변환 함수의 라플라스 변환 결과가 아닙니다.

a / s (s + a)

오답 함정 분석

이 함수는 시간 영역에서

1 - e^{- a t}

에 해당하며,

z

-변환 시

\frac{( 1 - e ^{- a T} ) z}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )}

형태가 됩니다.

1/ (s + a)

정답 상세 해설

Step 1: 주어진

z

-변환 함수

F (z) = \frac{z}{z - e ^{- a t}}

를 시간 영역의 함수

f (t)

로 역변환합니다.

z

-변환 쌍 관계에 의해

Z {e^{- a t}} = \frac{z}{z - e ^{- a T}}

이므로, 대응하는 시간 영역 함수는

f (t) = e^{- a t}

입니다.

•

Step 2: 시간 영역 함수

f (t) = e^{- a t}

를 라플라스 변환합니다. 라플라스 변환의 기본 정의에 따라

L {e^{- a t}} = \int_{0}^{\infty} e^{- a t} e^{- s t} d t

를 계산합니다.

•

Step 3: 지수 법칙에 의해

\int_{0}^{\infty} e^{- (s + a) t} d t

를 적분하면

[- \frac{1}{s + a} e^{- (s + a) t}]_{0}^{\infty}

가 되며, 최종적으로

\frac{1}{s + a}

을 얻습니다.

자주 묻는 질문

z

-변환에서

e^{- a t}

가 의미하는 것은 무엇인가요?

지수 감쇠 함수

e^{- a t}

를 샘플링 주기

T

마다 추출하여 이산화한 값을 의미하며,

z

-변환 시 분모의 극점으로 나타납니다.

라플라스 변환과

z

-변환의 가장 큰 차이점은 무엇인가요?

라플라스 변환은 연속 시간 시스템의 해석에 사용되고,

z

-변환은 샘플링된 이산 시간 시스템의 해석에 사용된다는 점이 가장 큰 차이입니다.

z = e^{s T}

관계는 언제 사용하나요?

연속 제어 시스템(s-평면)을 이산 제어 시스템(z-평면)으로 변환하거나 그 반대의 경우, 두 영역 간의 매핑 관계를 정의할 때 사용합니다.

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