$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 + 3s + 2}{s^2 + 2s + 5} \right]$는?

\delta(t) + e^{-t}(\cos 2t - 2\sin 2t)

\delta(t) + e^{-t}(\cos 2t - \sin 2t)

\delta(t) + e^{-t}(\cos 2t + 2\sin 2t)

\delta(t) + e^{-t}(\cos 2t - 2\sin 2t)

\delta(t) + e^{-t}(\cos 2t + \sin 2t)

라플라스변환

전기기사 필기 2022년 2회 80번

분모를 $(s+a)^2 + \omega^2$ 형태로 만든 후, 분자를 $(s+a)$ 항과 상수 항으로 분리합니다. $(s+a)$ 항은 감쇠 코사인 함수로, 상수 항은 감쇠 사인 함수로 역변환됩니다.

Q문제

f (t) = L^{- 1} [\frac{s ^{2} + 3 s + 2}{s ^{2} + 2 s + 5}]

는?

유사 문제 링크

δ (t) + e^{- t} (cos 2 t - sin 2 t)

사인 항의 계수를 잘못 계산하여

- 2

가 아닌

- 1

로 도출한 오답입니다.

δ (t) + e^{- t} (cos 2 t + 2 sin 2 t)

사인 항의 부호를 잘못 계산하여

- 2

가 아닌

+ 2

로 도출한 오답입니다.

δ (t) + e^{- t} (cos 2 t - 2 sin 2 t)

주어진 라플라스 변환식을 분수식의 형태로 분리하여 역변환을 수행한 결과입니다.

•

Step 1. 분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로, 다항식 나눗셈을 통해 식을 분리합니다.

F (s) = \frac{s ^{2} + 3 s + 2}{s ^{2} + 2 s + 5} = 1 + \frac{s - 3}{s ^{2} + 2 s + 5}

•

Step 2. 분수항의 분모를 완전제곱꼴로 변환하고, 분자를 이에 맞게 조정합니다.

\frac{s - 3}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{s + 1 - 4}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} - 2 \cdot \frac{2}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}}

•

Step 3. 각 항에 대해 라플라스 역변환을 적용합니다.

L^{- 1} [1] = δ (t)

L^{- 1} [\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}}] = e^{- t} cos 2 t

L^{- 1} [\frac{2}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}}] = e^{- t} sin 2 t

이므로,

f (t) = δ (t) + e^{- t} (cos 2 t - 2 sin 2 t)

입니다.

δ (t) + e^{- t} (cos 2 t + sin 2 t)

사인 항의 계수와 부호를 모두 잘못 계산하여

+ 1

로 도출한 오답입니다.

분자와 분모의 차수가 같을 때는 어떻게 역변환을 시작해야 하나요?

분자를 분모로 나누어 몫과 나머지 형태로 식을 분리해야 합니다. 몫은 상수가 되며, 이는 역변환 시 임펄스 함수

δ (t)

가 됩니다.

분수항을 코사인과 사인 항으로 분리하는 기준은 무엇인가요?

분모를

(s + a)^{2} + ω^{2}

형태로 만든 후, 분자를

(s + a)

항과 상수 항으로 분리합니다.

(s + a)

항은 감쇠 코사인 함수로, 상수 항은 감쇠 사인 함수로 역변환됩니다.