가우스의 정리

전기기사 필기 2006년 1회 20번

Q: 벡터의 발산(Divergence)은 어떻게 계산하나요?

벡터 $E = E_x i + E_y j + E_z k$의 발산은 $\nabla \cdot E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$로 계산합니다. 각 성분을 해당 변수로 편미분한 후 모두 더한 스칼라 값이 됩니다.

Q: z성분 $3ze^{4z}$를 z로 편미분할 때 어떻게 계산하나요?

변수 $z$와 지수함수 $e^{4z}$가 곱해져 있으므로 곱의 미분법을 적용해야 합니다. 따라서 $\frac{\partial}{\partial z}(3ze^{4z}) = 3e^{4z} + 12ze^{4z}$가 됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

전계

E = i 2 e^{3 x} sin 5 y - j e^{3 x} cos 5 y + k 3 z e^{4 z}

일 때, 점

(x = 0, y = 0, z = 0)

에서의 발산은?

유사 문제 링크

2013-1-q18 2021-1-q2 2013-1-q12 2006-3-q10 2019-2-q17

선택지 분석

오답 함정 분석

편미분 과정이나 좌표 대입 시 z성분의 상수항을 누락하여 결과값을 0으로 잘못 도출한 오답입니다.

정답 상세 해설

주어진 전계 벡터의 발산(Divergence)을 구한 후, 주어진 좌표를 대입하여 계산하면 3이 됩니다.

•

Step 1: 전계

E

의 각 성분을 확인합니다.

E_{x} = 2 e^{3 x} sin 5 y

E_{y} = - e^{3 x} cos 5 y

E_{z} = 3 z e^{4 z}

•

Step 2: 발산

\nabla \cdot E = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z}

를 계산합니다.

\frac{\partial E _{x}}{\partial x} = 6 e^{3 x} sin 5 y

\frac{\partial E _{y}}{\partial y} = 5 e^{3 x} sin 5 y

\frac{\partial E _{z}}{\partial z} = 3 e^{4 z} + 12 z e^{4 z}

따라서

\nabla \cdot E = 11 e^{3 x} sin 5 y + 3 e^{4 z} + 12 z e^{4 z}

입니다.

•

Step 3: 점

(x = 0, y = 0, z = 0)

을 대입하여 값을 구합니다.

\nabla \cdot E = 11 e^{0} sin 0 + 3 e^{0} + 12 (0) e^{0} = 0 + 3 (1) + 0 = 3

오답 함정 분석

x성분의 편미분 계수인 6을 전체 발산 값으로 착각하거나 계산 실수를 한 오답입니다.

오답 함정 분석

각 성분의 편미분 과정에서 계수들의 합을 잘못 계산하여 10으로 도출한 오답입니다.

자주 묻는 질문

벡터의 발산(Divergence)은 어떻게 계산하나요?

벡터

E = E_{x} i + E_{y} j + E_{z} k

의 발산은

\nabla \cdot E = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z}

로 계산합니다. 각 성분을 해당 변수로 편미분한 후 모두 더한 스칼라 값이 됩니다.

z성분

3 z e^{4 z}

를 z로 편미분할 때 어떻게 계산하나요?

변수

z

와 지수함수

e^{4 z}

가 곱해져 있으므로 곱의 미분법을 적용해야 합니다. 따라서

\frac{\partial}{\partial z} (3 z e^{4 z}) = 3 e^{4 z} + 12 z e^{4 z}

가 됩니다.

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