가우스의 정리

전기기사 필기 2019년 2회 17번

Q: 벡터의 발산(Divergence)은 어떻게 계산하나요?

벡터의 각 성분을 해당 좌표축의 변수로 편미분한 후 모두 더하여 계산합니다. 직각좌표계에서는 $\nabla \cdot D = \frac{\partial D_x}{\partial X} + \frac{\partial D_y}{\partial Y} + \frac{\partial D_z}{\partial Z}$ 로 구합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

전속밀도

D = X^{2} i + Y^{2} j + Z^{2} k (C / m^{2})

를 발생시키는 점

(1, 2, 3)

에서의 체적 전하밀도는 몇

C / m^{3}

인가?

유사 문제 링크

2010-1-q18 2021-3-q12 2022-2-q11 2013-3-q1 2015-1-q15

선택지 분석

정답 상세 해설

가우스의 발산 정리에 의해 체적 전하밀도는 전속밀도의 발산(Divergence)과 같으므로 정답은 12입니다.

•

Step 1: 가우스의 미분형 법칙 적용 체적 전하밀도

ρ_{v} = \nabla \cdot D = \frac{\partial D _{x}}{\partial X} + \frac{\partial D _{y}}{\partial Y} + \frac{\partial D _{z}}{\partial Z}

입니다.

•

Step 2: 전속밀도의 발산 계산 주어진 전속밀도

D = X^{2} i + Y^{2} j + Z^{2} k

에 대해 편미분을 수행하면

\nabla \cdot D = 2 X + 2 Y + 2 Z

가 됩니다.

•

Step 3: 주어진 좌표 대입 점

(1, 2, 3)

의 좌표를 대입하면

ρ_{v} = 2 (1) + 2 (2) + 2 (3) = 2 + 4 + 6 = 12 [C / m^{3}]

가 됩니다.

오답 함정 분석

편미분 또는 좌표 대입 과정에서 산술적인 오류를 범하여 도출된 오답입니다.

오답 함정 분석

편미분 또는 좌표 대입 과정에서 산술적인 오류를 범하여 도출된 오답입니다.

오답 함정 분석

편미분 또는 좌표 대입 과정에서 산술적인 오류를 범하여 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

체적 전하밀도와 전속밀도는 어떤 관계가 있나요?

가우스의 발산 정리에 의해 전속밀도의 발산(Divergence)은 해당 지점의 체적 전하밀도와 같습니다. 즉,

ρ_{v} = \nabla \cdot D

로 표현됩니다.

벡터의 발산(Divergence)은 어떻게 계산하나요?

벡터의 각 성분을 해당 좌표축의 변수로 편미분한 후 모두 더하여 계산합니다. 직각좌표계에서는

\nabla \cdot D = \frac{\partial D _{x}}{\partial X} + \frac{\partial D _{y}}{\partial Y} + \frac{\partial D _{z}}{\partial Z}

로 구합니다.

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