전위

전기기사 필기 2006년 3회 10번

절대 전위는 무한대이지만, 두 지점 $a, b$ 사이의 전위차 $V_{ab} = \frac{\rho}{2\pi\epsilon_0} \ln \frac{b}{a}$는 유한한 값으로 계산되어 실제 공학적 설계에 활용됩니다.

Q문제

무한장의 직선 도체에 선전하 밀도

ρ [C / m]

로 전하가 충전될 때 이 직선 도체에서

r [m]

만큼 떨어진 점의 전위는?

유사 문제 링크

선택지 분석

ρ

이다.

선전하 밀도

ρ

는 전하의 분포 밀도를 나타내는 물리량이며 전위의 단위인

[V]

와 일치하지 않습니다.

ρ \cdot r

이다.

전위는 전계를 거리에 대해 적분한 값이므로 로그 함수의 형태를 가져야 하며, 거리

r

에 비례하는 형태는 오답입니다.

0 (Z er o)

이다.

전하가 존재하는 도체 주변에는 전계가 형성되므로 전위가 0이 될 수 없습니다.

무한대(

\infty

)이다.

무한장 직선 도체로부터 거리

r [m]

만큼 떨어진 지점의 전계의 세기

E

를 구합니다. 가우스 법칙에 의해

E = \frac{ρ}{2 π ϵ _{0} r} [V / m]

가 도출됩니다.

•

전위

V

의 정의에 따라 기준점(무한원점)에서 해당 지점까지 전계를 적분합니다.

V = - \int_{\infty}^{r} E d r = - \int_{\infty}^{r} \frac{ρ}{2 π ϵ _{0} r} d r

식을 세웁니다.

•

적분을 수행하면

V = - \frac{ρ}{2 π ϵ _{0}} [ln r]_{\infty}^{r} = \frac{ρ}{2 π ϵ _{0}} (ln \infty - ln r)

이 됩니다. 로그 함수 내의 무한대 값으로 인해 전위의 절대값은 무한대(

\infty

)로 발산하게 됩니다.

왜 무한장 직선 도체의 전위는 무한대가 되나요?

전위는 무한원점을 기준(0V)으로 설정하여 정의합니다. 하지만 전하 분포 자체가 무한히 길게 뻗어 있는 경우, 무한원점에서도 전하의 영향력이 사라지지 않아 적분값이 수렴하지 않고 발산하기 때문입니다.

실제 문제 풀이에서 전위차를 구할 때는 어떻게 하나요?

절대 전위는 무한대이지만, 두 지점

a, b

사이의 전위차

V_{ab} = \frac{ρ}{2 π ϵ _{0}} ln \frac{b}{a}

는 유한한 값으로 계산되어 실제 공학적 설계에 활용됩니다.