그림과 같이 반지름 $a[m]$인 원형 도선에 전하가 선밀도 $\lambda[C/m]$로 균일하게 분포되어 있다. 그 중심에 수직한 $z$축상의 한 점 $P$의 전계의 세기는 몇 $V/m$인가?

$\frac{\lambda z a}{2\epsilon_0(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\lambda z a}{2\pi\epsilon_0(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\lambda z a}{4\pi\epsilon_0(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\lambda z a}{4\epsilon_0(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$

선전하 밀도 $\lambda$ 대신 전체 전하량 $Q$가 주어지면 공식이 어떻게 바뀌나요?

전체 전하량 $Q = \lambda \times (2\pi a)$이므로, $\lambda = \frac{Q}{2\pi a}$를 대입하면 전계 $E = \frac{Q z}{4\pi\epsilon_0(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$가 됩니다.

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전계

전기기사 필기 2005년 2회 8번

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

그림과 같이 반지름

a [m]

인 원형 도선에 전하가 선밀도

λ [C / m]

로 균일하게 분포되어 있다. 그 중심에 수직한

z

축상의 한 점

P

의 전계의 세기는 몇

V / m

인가?

유사 문제 링크

2004-2-q1 2003-3-q8 2016-2-q19 2017-2-q20 2004-2-q7

선택지 분석

\frac{λ z a}{2 ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

정답 상세 해설

반지름이

a

인 원형 도선 중심축 상의 거리

z

인 점

P

에서의 전계의 세기는

\frac{λ z a}{2 ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

입니다.

•

Step 1: 원형 도선 상의 미소 길이

d l

에 포함된 미소 전하량

d q

는

d q = λ d l

입니다.

•

Step 2: 미소 전하

d q

에 의해 점

P

에 생기는 전계의 세기

d E

는

d E = \frac{d q}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} )}

입니다. 대칭성에 의해 전계의 원형 도선 평면과 평행한 성분은 상쇄되고,

z

축 방향 성분만 남습니다.

z

축 방향 성분

d E_{z} = d E cos θ = d E \frac{z}{a ^{2} + z ^{2}} = \frac{λ z d l}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

입니다.

•

Step 3: 전체 전계

E

는

d E_{z}

를 원형 도선 전체에 대해 적분하여 구합니다. 원형 도선의 전체 둘레 길이는

\int d l = 2 π a

이므로,

E = \int d E_{z} = \frac{λ z}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} \int d l = \frac{λ z ( 2 π a )}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{λ z a}{2 ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

가 됩니다.

\frac{λ z a}{2 π ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

오답 함정 분석

적분 과정에서 원형 도선의 둘레 길이

2 π a

를 곱할 때

π

가 약분되지 않고 분모에 남은 잘못된 수식입니다.

\frac{λ z a}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

오답 함정 분석

원형 도선의 둘레 길이

2 π a

를 곱할 때

2 π

가 약분되지 않고 분모에

4 π

가 그대로 남은 잘못된 수식입니다.

\frac{λ z a}{4 ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

오답 함정 분석

원형 도선의 둘레 길이

2 π a

를 곱할 때

2

가 약분되지 않고 분모에

4

가 남은 잘못된 수식입니다.

자주 묻는 질문

원형 도선에 의한 전계를 구할 때 왜 z축 방향 성분만 고려하나요?

원형 도선에 전하가 균일하게 분포되어 있으므로, 중심축을 기준으로 대칭인 두 미소 전하에 의한 전계의 수평 성분(도선 평면과 평행한 성분)은 크기가 같고 방향이 반대되어 서로 상쇄되기 때문입니다.

선전하 밀도

λ

대신 전체 전하량

Q

가 주어지면 공식이 어떻게 바뀌나요?

전체 전하량

Q = λ \times (2 π a)

이므로,

λ = \frac{Q}{2 π a}

를 대입하면 전계

E = \frac{Q z}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

가 됩니다.

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