$div E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ 와 의미가 같은 식은? (단, $E$ :전계, $\rho$:전하밀도, $\epsilon_0$ :진공의 유전률이다.)

$\oint_s E \cdot dS = \frac{Q}{\epsilon_0}$

$div \cdot grad V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$

전위

전기기사 필기 2003년 3회 8번

Q문제

d i v E = \frac{ρ}{ϵ _{0}}

와 의미가 같은 식은? (단,

E

:전계,

ρ

:전하밀도,

ϵ_{0}

:진공의 유전률이다.)

유사 문제 링크

\oint_{s} E \cdot d S = \frac{Q}{ϵ _{0}}

가우스 정리의 미분형을 적분형으로 변환하면 가우스의 법칙 적분 형태가 도출됩니다.

•

Step 1: 가우스 정리의 미분형

d i v E = \frac{ρ}{ϵ _{0}}

의 양변을 체적

V

에 대해 적분합니다.

•

Step 2: 발산 정리에 의해 좌변

\int_{V} (d i v E) d V

는 폐곡면

S

에 대한 면적 적분

\oint_{S} E \cdot d S

로 변환됩니다.

•

Step 3: 우변의 전하 밀도 체적 적분

\int_{V} ρ d V

는 총 전하량

Q

가 되므로, 최종적으로

\oint_{S} E \cdot d S = \frac{Q}{ϵ _{0}}

가 성립합니다.

E = - g r a d V

전계와 전위의 관계를 나타내는 식이며 가우스 정리의 적분형과는 무관합니다.

d i v \cdot g r a d V = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

전하가 존재하는 공간에서의 전위 분포를 나타내는 푸아송의 방정식입니다.

d i v \cdot g r a d V = 0

전하가 존재하지 않는 공간에서의 전위 분포를 나타내는 라플라스의 방정식입니다.

가우스 정리의 미분형과 적분형은 어떤 차이가 있나요?

미분형은 공간의 한 점에서의 전계 발산과 전하 밀도의 관계를 나타내며, 적분형은 폐곡면을 통과하는 전체 전속과 내부의 총 전하량 사이의 관계를 나타냅니다.

발산 정리란 무엇인가요?

벡터장의 발산을 체적 적분한 값과 그 체적을 둘러싼 폐곡면을 통과하는 벡터장의 면적 적분 값이 같다는 수학적 정리입니다.