가우스의 정리

전기기사 필기 2005년 1회 9번

Q: 단위 변환 시 $1[mm^3]$는 몇 $[m^3]$인가요?

$1[mm]$는 $10^{-3}[m]$이므로, 이를 세제곱한 $1[mm^3]$는 $10^{-9}[m^3]$입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

전속밀도

D = x^{2} i + 2 y^{2} j + 3 z k [C / m^{2}]

을 주는 원점의

1 [m m^{3}]

내의 전하는 몇

[C]

인가?

유사 문제 링크

2020-2-q7 2020-3-q2 2013-2-q1 2004-3-q17 2014-3-q9

선택지 분석

오답 함정 분석

체적의 단위를

[m^{3}]

로 변환하지 않고 체적전하밀도 값만 그대로 사용하여 도출된 오답입니다.

3 \times 1 0^{- 6}

오답 함정 분석

체적 단위 변환 시

1 [m m^{3}]

를

1 0^{- 6} [m^{3}]

로 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

3 \times 1 0^{- 9}

정답 상세 해설

가우스의 발산 정리를 이용하여 전속밀도에서 체적전하밀도를 구한 후, 주어진 체적을 곱하여 총 전하량을 계산합니다.

•

Step 1: 체적전하밀도 계산. 가우스의 미분형 법칙에 의해 체적전하밀도

ρ_{v}

는 전속밀도

D

의 발산(Divergence)과 같습니다.

ρ_{v} = \nabla \cdot D = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y} (2 y^{2}) + \frac{\partial}{\partial z} (3 z) = 2 x + 4 y + 3 [C / m^{3}]

입니다.

•

Step 2: 원점에서의 체적전하밀도 산출. 원점

(0, 0, 0)

을 대입하면

ρ_{v} = 2 (0) + 4 (0) + 3 = 3 [C / m^{3}]

이 됩니다.

•

Step 3: 총 전하량 계산. 주어진 체적

V = 1 [m m^{3}] = 1 \times 1 0^{- 9} [m^{3}]

입니다. 총 전하량

Q = ρ_{v} \times V = 3 \times 1 0^{- 9} [C]

입니다.

3 \times 1 0^{- 12}

오답 함정 분석

체적 단위 변환 시

1 [m m^{3}]

를

1 0^{- 12} [m^{3}]

로 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

전속밀도에서 체적전하밀도를 어떻게 구하나요?

가우스의 미분형 법칙에 따라 전속밀도의 발산(Divergence)을 계산하면 체적전하밀도를 구할 수 있습니다.

단위 변환 시

1 [m m^{3}]

는 몇

[m^{3}]

인가요?

1 [mm]

는

1 0^{- 3} [m]

이므로, 이를 세제곱한

1 [m m^{3}]

는

1 0^{- 9} [m^{3}]

입니다.

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