전위

전기기사 필기 2005년 1회 3번

Q: 전위함수가 주어졌을 때 전계의 세기는 어떻게 구하나요?

전계의 세기는 전위함수의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 붙여 구합니다. 즉, $\vec{E} = -\nabla V$ 공식을 사용하여 각 좌표축에 대해 편미분하여 계산합니다.

Q: 정전계에서 공간에 축적되는 에너지 밀도 공식은 무엇인가요?

진공 중의 정전계에서 단위 체적당 축적되는 에너지 밀도는 $w = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ [J/m³]입니다. 여기서 $E$는 전계의 세기입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

진공 내에서 전위함수

V = x^{2} + y^{2} [V]

로 주어질 때

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

인 공간에 저축되는 에너지는 몇 [J]인가?

유사 문제 링크

2016-1-q13 2011-1-q20 2004-1-q3 2003-2-q1 2017-1-q17

선택지 분석

\frac{4}{3} ϵ_{0}

정답 상세 해설

주어진 공간에 축적되는 에너지는

\frac{4}{3} ϵ_{0}

[J]입니다.

•

Step 1: 전계의 세기

E

구하기 전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 취한 값입니다.

E = - \nabla V = - (\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k})

V = x^{2} + y^{2}

이므로,

E = - 2 x \hat{i} - 2 y \hat{j}

가 됩니다.

•

Step 2: 전계의 크기 제곱

E^{2}

및 에너지 밀도

w

구하기 전계의 크기 제곱은

E^{2} = (- 2 x)^{2} + (- 2 y)^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2}

입니다. 단위 체적당 축적되는 에너지 밀도

w = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2} = \frac{1}{2} ϵ_{0} (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 2 ϵ_{0} (x^{2} + y^{2})

입니다.

•

Step 3: 전체 체적에 대한 에너지

W

적분하기 전체 에너지는 주어진 체적에 대해 에너지 밀도를 적분하여 구합니다.

W = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2 ϵ_{0} (x^{2} + y^{2}) d x d y d z

z

에 대한 적분은 1이므로,

W = 2 ϵ_{0} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x^{2} + y^{2}) d x d y

입니다. 먼저

x

에 대해 적분하면

\int_{0}^{1} (x^{2} + y^{2}) d x = [\frac{1}{3} x^{3} + x y^{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + y^{2}

입니다. 다음으로

y

에 대해 적분하면

\int_{0}^{1} (\frac{1}{3} + y^{2}) d y = [\frac{1}{3} y + \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

입니다. 따라서 총 에너지는

W = 2 ϵ_{0} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} ϵ_{0}

[J]입니다.

4 ϵ_{0}

오답 함정 분석

에너지 밀도를 체적에 대해 적분하는 과정에서 적분 상수를 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

\frac{2}{3} ϵ_{0}

오답 함정 분석

에너지 밀도 공식

w = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}

에서

\frac{1}{2}

을 누락하여 도출된 오답입니다.

2 ϵ_{0}

오답 함정 분석

체적 적분을 수행하지 않고 단순히 전계의 최댓값을 대입하여 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전위함수가 주어졌을 때 전계의 세기는 어떻게 구하나요?

전계의 세기는 전위함수의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 붙여 구합니다. 즉,

E = - \nabla V

공식을 사용하여 각 좌표축에 대해 편미분하여 계산합니다.

정전계에서 공간에 축적되는 에너지 밀도 공식은 무엇인가요?

진공 중의 정전계에서 단위 체적당 축적되는 에너지 밀도는

w = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}

[J/m³]입니다. 여기서

E

는 전계의 세기입니다.

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