전계

전기기사 필기 2011년 1회 20번

Q: 코일의 중심(x=0)에서의 전계의 세기는 어떻게 되나요?

도출된 공식에 $x=0$을 대입하면 전계의 세기는 0이 됩니다. 중심에서는 모든 방향의 전계가 대칭적으로 상쇄되기 때문입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

공기 중에 그림과 같이 가느다란 전선으로 반경

a

인 원형 코일을 만들고, 이것에 전하

Q

가 균일하게 분포하고 있을 때 원형 코일의 중심축상에서 중심으로부터 거리

x

만큼 떨어진

P

점의 전계의 세기는 몇

[V / m]

인가?

유사 문제 링크

2004-1-q3 2003-2-q1 2017-1-q17 2018-1-q11 2011-1-q4

선택지 분석

\frac{Q}{2 π ϵ _{0} a + x}

오답 함정 분석

전계의 세기 공식에서 거리의 제곱에 반비례하는 차원을 올바르게 고려하지 않은 오답입니다.

\frac{Q}{4 π ϵ _{0} a + x}

오답 함정 분석

전계의 세기 공식에서 거리의 제곱에 반비례하는 차원을 올바르게 고려하지 않은 오답입니다.

\frac{Q x}{2 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

오답 함정 분석

쿨롱의 법칙 상수인 1/(4πε₀)에서 분모를 2πε₀로 잘못 적용한 오답입니다.

\frac{Q x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

정답 상세 해설

원형 코일 중심축 상의 전계의 세기는

\frac{Q x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} [V / m]

입니다.

•

Step 1: 원형 코일의 미소 길이

d l

에 포함된 미소 전하

d q

에 의한

P

점의 전계의 세기

d E

를 구합니다.

d E = \frac{d q}{4 π ϵ _{0} r ^{2}}

이며, 여기서 빗변의 길이

r = a^{2} + x^{2}

입니다.

•

Step 2: 대칭성에 의해 전계의 중심축 수직 성분은 모두 상쇄되므로, 중심축 방향(x축 방향) 성분인

d E_{x}

만 고려합니다.

d E_{x} = d E cos θ = d E \frac{x}{r} = \frac{x \cdot d q}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

입니다.

•

Step 3: 전체 전계

E

는

d E_{x}

를 코일 전체에 대해 적분하여 구합니다.

E = \int d E_{x} = \frac{x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} \int d q

가 되며,

\int d q = Q

이므로 최종적으로

E = \frac{Q x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} [V / m]

가 됩니다.

자주 묻는 질문

원형 코일 중심축 상의 전계를 구할 때 왜 수직 성분은 고려하지 않나요?

원형 코일은 중심축을 기준으로 대칭적인 구조를 가집니다. 따라서 마주 보는 미소 전하에서 발생하는 전계의 수직 성분은 크기가 같고 방향이 반대이므로 서로 상쇄되어 0이 됩니다.

코일의 중심(x=0)에서의 전계의 세기는 어떻게 되나요?

도출된 공식에

x = 0

을 대입하면 전계의 세기는 0이 됩니다. 중심에서는 모든 방향의 전계가 대칭적으로 상쇄되기 때문입니다.

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