가우스의 정리

전기기사 필기 2016년 1회 13번

균일한 공간전하밀도를 가진 구 내부의 전계의 세기는 중심으로부터의 거리 $r$에 비례하여 선형적으로 증가합니다.

구 외부의 전계의 세기는 전체 전하가 중심에 집중되어 있는 점전하와 동일하게 취급하여 $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$로 계산합니다.

Q문제

반지름이

3 [m]

인 구에 공간전하밀도가

1 [C / m^{3}]

가 분포되어 있을 경우 구의 중심으로부터

1 [m]

인 곳의 전위는 몇

[V]

인가?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{2 ϵ _{0}}

가우스 정리를 통한 구 내부 전계 공식에서 분모의 상수를 2로 잘못 적용한 오답입니다.

\frac{1}{3 ϵ _{0}}

본 문항은 출제 오류로 인해 '전위'를 묻고 있으나, 제시된 정답은 '전계의 세기'를 구한 값에 해당하므로 전계의 세기를 구하는 문제로 해석하여 풀이합니다.

•

Step 1: 가우스 정리에 의해 반지름이

a

인 구 내부에 공간전하밀도

ρ

가 균일하게 분포할 때, 중심에서

r

(

r < a

)만큼 떨어진 곳의 전계의 세기

E

는

E = \frac{ρ r}{3 ϵ _{0}}

입니다.

•

Step 2: 문제에서 주어진 조건인 공간전하밀도

ρ = 1 [C / m^{3}]

, 중심으로부터의 거리

r = 1 [m]

를 공식에 대입합니다.

•

Step 3: 계산 결과

E = \frac{1 \times 1}{3 ϵ _{0}} = \frac{1}{3 ϵ _{0}}

이 됩니다.

\frac{1}{4 ϵ _{0}}

가우스 정리를 통한 구 내부 전계 공식에서 분모의 상수를 4로 잘못 적용한 오답입니다.

\frac{1}{5 ϵ _{0}}

가우스 정리를 통한 구 내부 전계 공식에서 분모의 상수를 5로 잘못 적용한 오답입니다.

구 내부의 전계의 세기는 거리에 따라 어떻게 변하나요?

균일한 공간전하밀도를 가진 구 내부의 전계의 세기는 중심으로부터의 거리

r

에 비례하여 선형적으로 증가합니다.

구 외부의 전계의 세기는 어떻게 구하나요?

구 외부의 전계의 세기는 전체 전하가 중심에 집중되어 있는 점전하와 동일하게 취급하여

E = \frac{Q}{4 π ϵ _{0} r ^{2}}

로 계산합니다.