$\cos \omega t$와 $\sin \omega t$의 라플라스 변환은 어떻게 구분하나요?

$\mathcal{L}\{\cos \omega t\} = \frac{s}{s^2+\omega^2}$이고, $\mathcal{L}\{\sin \omega t\} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$입니다. 분자가 $s$이면 코사인, $\omega$(상수)이면 사인 함수입니다.

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라플라스변환

전기기사 필기 2004년 2회 67번

Q: 복소추이 정리(주파수 천이 정리)가 무엇인가요?

시간 영역에서 지수함수 $e^{at}$가 곱해진 함수를 라플라스 변환하면, $s$ 영역에서 $s$ 대신 $s-a$로 평행 이동하는 정리입니다. 즉, $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$가 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

함수

f (t) = e^{- 2 t} cos 3 t

의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

2014-2-q80 2015-2-q72 2017-3-q75 2005-2-q69 2017-3-q74

선택지 분석

F (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

정답 상세 해설

주어진 함수

f (t) = e^{- 2 t} cos 3 t

의 라플라스 변환은 복소추이 정리(주파수 천이 정리)를 이용하여 구합니다.

•

Step 1: 기본 함수

cos 3 t

의 라플라스 변환을 구합니다.

L {cos ω t} = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

이므로,

L {cos 3 t} = \frac{s}{s ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{s}{s ^{2} + 9}

입니다.

•

Step 2: 지수 감쇠항

e^{- 2 t}

에 의한 복소추이 정리를 적용합니다.

L {e^{a t} f (t)} = F (s - a)

이므로,

s

대신

s - (- 2) = s + 2

를 대입합니다.

•

Step 3: 수식을 전개하여 정리합니다.

F (s) = \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 9} = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 4 + 9} = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

이 됩니다.

F (s) = \frac{s - 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

오답 함정 분석

복소추이 정리 적용 시

s

대신

s + 2

를 대입해야 하나,

s - 2

를 대입하여 분자가 잘못 계산된 오답입니다.

F (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s - 5}

오답 함정 분석

분모 전개 과정에서

(s + 2)^{2} + 3^{2}

을 계산해야 하나, 부호나 덧셈을 잘못하여 상수항이

- 5

로 도출된 오답입니다.

F (s) = \frac{s - 2}{s ^{2} + 4 s - 5}

오답 함정 분석

복소추이 정리의 부호를 반대로 적용하고, 분모의 상수항 계산도 틀린 오답입니다.

자주 묻는 질문

복소추이 정리(주파수 천이 정리)가 무엇인가요?

시간 영역에서 지수함수

e^{a t}

가 곱해진 함수를 라플라스 변환하면,

s

영역에서

s

대신

s - a

로 평행 이동하는 정리입니다. 즉,

L {e^{a t} f (t)} = F (s - a)

가 됩니다.

cos ω t

와

sin ω t

의 라플라스 변환은 어떻게 구분하나요?

L {cos ω t} = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

이고,

L {sin ω t} = \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}

입니다. 분자가

s

이면 코사인,

ω

(상수)이면 사인 함수입니다.

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