도체계의 정전에너지

전기기사 필기 2004년 2회 20번

부피가 2배가 됨에 따라 반지름이 $2^{1/3}$배가 되므로, 정전용량도 $2^{1/3}$배(약 1.26배)로 증가합니다.

Q문제

반지름

a [m]

, 전하

Q [C]

을 가진 두 개의 물방울이 합쳐서 한 개의 물방울이 되었다. 합쳐진 후의 정전에너지를 합쳐지기 전과 비교하면 어떻게 되는가?

유사 문제 링크

선택지 분석

변화하지 않는다.

전하량의 제곱은 4배로 증가하는 반면 정전용량은 약 1.26배만 증가하므로 에너지는 반드시 변화합니다.

2배로 감소한다.

전하량 증가 효과가 정전용량 증가 효과보다 크기 때문에 에너지는 감소하지 않고 오히려 증가합니다.

1/2로 감소한다.

정전에너지는 전하량의 제곱에 비례하므로, 전하가 합쳐지면 에너지는 줄어들지 않고 늘어납니다.

증가한다.

합쳐진 후의 전하량 증가율이 정전용량 증가율보다 크기 때문에 전체 정전에너지는 증가합니다.

•

Step 1: 합쳐지기 전의 총 정전에너지를 계산합니다. 반지름

a

, 전하

Q

인 구 도체의 정전용량

C = 4 π ϵ_{0} a

를 이용하면, 두 물방울의 총 에너지

W_{1} = 2 \times \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{Q ^{2}}{4 π ϵ _{0} a}

입니다.

•

Step 2: 합쳐진 후의 전하량과 반지름을 구합니다. 전하량은

2 Q

가 되며, 부피 보존 법칙(

\frac{4}{3} π (a^{'})^{3} = 2 \times \frac{4}{3} π a^{3}

)에 의해 새로운 반지름

a^{'}

는

2^{1/3} a

가 됩니다.

•

Step 3: 합쳐진 후의 에너지

W_{2}

를 계산하여 비교합니다.

W_{2} = \frac{( 2 Q ) ^{2}}{2 \cdot 4 π ϵ _{0} \cdot 2 ^{1/3} a} = \frac{Q ^{2}}{2 π ϵ _{0} \cdot 2 ^{1/3} a}

이며,

W_{2} / W_{1} = 2^{2/3} \approx 1.587

이므로 에너지는 증가합니다.

물방울이 합쳐질 때 정전용량은 어떻게 변하나요?

부피가 2배가 됨에 따라 반지름이

2^{1/3}

배가 되므로, 정전용량도

2^{1/3}

배(약 1.26배)로 증가합니다.

왜 전하량은 2배가 되는데 에너지는 2배가 아닌가요?

에너지는 전하량의 제곱에 비례하고 정전용량에 반비례하는데, 정전용량 또한 반지름 변화에 따라 함께 커지기 때문입니다.