라플라스변환

전기기사 필기 2003년 3회 78번

시간 영역에서 함수에 지수 함수 $e^{at}$를 곱한 것의 라플라스 변환은 $s$ 영역에서 $F(s-a)$로 평행 이동하는 성질을 말합니다.

Q문제

라플라스 변환함수

F (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

에 대한 역변환 함수

f (t)

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{- 2 t} cos 3 t

주어진 라플라스 변환 함수

F (s)

의 분모를 완전제곱꼴로 변환하여 복소추이 정리를 적용합니다.

•

Step 1: 분모를 완전제곱꼴로 변환합니다.

s^{2} + 4 s + 13 = (s^{2} + 4 s + 4) + 9 = (s + 2)^{2} + 3^{2}

입니다.

•

Step 2: 주어진 함수를 표준 형태로 다시 작성합니다.

F (s) = \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 복소추이 정리

L^{- 1} {\frac{s - a}{( s - a ) ^{2} + ω ^{2}}} = e^{a t} cos ω t

를 적용합니다.

a = - 2

ω = 3

이므로

f (t) = e^{- 2 t} cos 3 t

가 됩니다.

e^{- 3 t} sin 2 t

분모의 완전제곱꼴 변환 시 상수항과 지수 함수의 계수를 혼동하여 사인 함수로 잘못 해석한 오답입니다.

e^{3 t} cos 2 t

복소추이 정리 적용 시 지수 함수의 부호와 삼각 함수의 각주파수 위치를 반대로 적용한 오답입니다.

e^{2 t} sin 3 t

복소추이 정리 적용 시 지수 함수의 부호를 반대로 적용하고, 분자가

s + 2

임에도 사인 함수로 잘못 변환한 오답입니다.

라플라스 역변환을 할 때 분모를 완전제곱꼴로 바꾸는 이유는 무엇인가요?

기본 라플라스 변환 공식(예: 사인, 코사인 함수)과 복소추이 정리를 적용할 수 있는 표준 형태로 만들기 위해서입니다.

복소추이 정리란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수에 지수 함수

e^{a t}

를 곱한 것의 라플라스 변환은

s

영역에서

F (s - a)

로 평행 이동하는 성질을 말합니다.