교류회로

전기기사 필기 2003년 3회 74번

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

전원의 내부임피던스가 순저항

R

과 리액턴스

X

로 구성되고 외부에 부하저항

R_{L}

을 연결하여 최대전력을 전달하려면

R_{L}

의 값은?

유사 문제 링크

2015-2-q79 2007-2-q70 2004-2-q67 2014-2-q80 2015-2-q72

선택지 분석

R_L = R + X

오답 함정 분석

임피던스의 크기를 구할 때 실수부와 허수부를 단순히 더하는 것은 잘못된 계산입니다.

R_{L} = R^{2} - X^{2}

오답 함정 분석

임피던스의 크기를 구할 때 피타고라스 정리에 의해 더하기 기호가 들어가야 하나 빼기 기호를 사용했습니다.

R_L = R

오답 함정 분석

부하가 복소 임피던스를 가질 수 있을 때의 조건과 혼동한 오답입니다. 부하가 순저항일 때는 임피던스의 크기와 같아야 합니다.

R_{L} = R^{2} + X^{2}

정답 상세 해설

부하가 순저항일 때 최대 전력이 전달되기 위한 조건은 부하 저항의 크기가 전원의 내부 임피던스 크기와 같을 때입니다.

•

Step 1: 회로에 흐르는 전류

I

의 크기를 구합니다.

I = \frac{E}{( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 부하 저항

R_{L}

에서 소비되는 전력

P

를 구합니다.

P = I^{2} R_{L} = \frac{E ^{2}}{( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2}} R_{L}

입니다.

•

Step 3: 전력

P

가 최대가 되기 위해

P

를

R_{L}

에 대해 미분하여 0이 되는 조건을 찾습니다.

\frac{d P}{d R _{L}} = E^{2} \frac{( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2} - R _{L} \cdot 2 ( R + R _{L} )}{(( R + R _{L} ) ^{2} + X ^{2} ) ^{2}} = 0

입니다.

•

Step 4: 분자가 0이 되어야 하므로

(R + R_{L})^{2} + X^{2} - 2 R_{L} (R + R_{L}) = 0

을 전개하여 정리하면

R^{2} + 2 R R_{L} + R_{L}^{2} + X^{2} - 2 R R_{L} - 2 R_{L}^{2} = 0

이 되고, 결과적으로

R_{L}^{2} = R^{2} + X^{2}

이 됩니다.

•

Step 5: 따라서 최대 전력 전달을 위한 부하 저항은

R_{L} = R^{2} + X^{2}

입니다.

자주 묻는 질문

부하가 순저항이 아니라 임피던스

Z_{L} = R_{L} + j X_{L}

형태라면 최대 전력 전달 조건은 어떻게 되나요?

부하가 복소 임피던스 형태일 경우, 최대 전력 전달 조건은 부하 임피던스가 전원 내부 임피던스의 공액 복소수(켤레 복소수)와 같을 때입니다. 즉,

Z_{L} = R - j X

가 되어야 합니다.

왜 부하가 순저항일 때는 내부 임피던스의 크기와 같아야 하나요?

부하의 리액턴스 성분을 조절할 수 없고 오직 저항값만 조절할 수 있는 상황에서는, 전력 공식을 저항에 대해 미분하여 극대값을 구하면 부하 저항이 내부 임피던스의 절대값(크기)과 같아진다는 수학적 결과가 도출되기 때문입니다.

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