저항률 및 도전율
전기기사 필기 2003년 3회 17번
| 과목 / 챕터 | 전기자기학 / 전계의 특수 해법 및 전류 |
|---|---|
| 인지 유형 | calculation |
| 난이도 | Level 3 |
Q문제
반지름 인 두 구상 도체 전극이 도전률 인 매질속에 중심거리 만큼 떨어져 놓여 있다. 양 전극간의 저항은? (단, 이다.)
선택지 분석
1
오답 함정 분석
두 전극 사이의 상호 전위계수에 의한 영향을 고려하지 않은 오답입니다.
2
오답 함정 분석
상호 전위계수를 무시하고, 두 구의 자체 전위계수 차이로 잘못 계산한 오답입니다.
정답 상세 해설
두 구상 도체 전극 간의 저항은 정전용량과 매질의 도전율 관계를 이용하여 도출합니다.
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Step 1: 두 구상 도체의 전위계수 산출. 반지름이 a, b인 두 구의 자체 전위계수는 각각 P_11 = 1 / (4\pi \epsilon a), P_22 = 1 / (4\pi \epsilon b)입니다. 두 구 사이의 거리가 r일 때 상호 전위계수는 P_12 = P_21 = 1 / (4\pi \epsilon r)입니다.
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Step 2: 두 전극 간의 정전용량 C 계산. 한 전극에 +Q, 다른 전극에 -Q의 전하를 인가했을 때 두 전극 간의 전위차 V는 V = V_1 - V_2 = (P_11 - P_12)Q - (P_21 - P_22)Q = (P_11 + P_22 - 2P_12)Q입니다. 따라서 정전용량 C = Q / V = 1 / (P_11 + P_22 - 2P_12) = 4\pi \epsilon / (1/a + 1/b - 2/r)입니다.
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Step 3: 매질의 도전율 K와 저항 R의 관계 적용. 저항 R과 정전용량 C 사이에는 RC = \rho \epsilon = \epsilon / K의 관계가 성립합니다. 이를 통해 저항 R = \epsilon / (K C) = (\epsilon / K) * (1/a + 1/b - 2/r) / (4\pi \epsilon) = 1 / (4\pi K) * (1/a + 1/b - 2/r)가 됩니다.
4
오답 함정 분석
두 구의 자체 전위계수 합이 아닌 차이로 잘못 계산한 오답입니다.
자주 묻는 질문
Q.
저항 R과 정전용량 C의 관계식 RC = \epsilon / K는 어떻게 유도되나요?
매질 내에서 전류밀도 i = K E이고 전속밀도 D = \epsilon E입니다. 전극에서 유출되는 총 전류 I = K \oint E \cdot dS이며, 가우스 정리에 의해 총 전하 Q = \epsilon \oint E \cdot dS입니다. 따라서 I / K = Q / \epsilon가 성립하며, R = V / I, C = Q / V를 대입하면 RC = \epsilon / K가 됩니다.
Q.
상호 전위계수 P_12는 왜 1 / (4\pi \epsilon r)이 되나요?
중심 거리가 r만큼 떨어진 점전하에 의한 전위 공식을 적용한 것입니다. r \gg a, b 조건에 의해 구상 도체의 전하 분포를 중심에 집중된 점전하로 근사할 수 있기 때문입니다.