회로의 전달 함수

전기기사 필기 2003년 2회 72번

초기 조건이 0일 때, 시간 영역의 1차 미분 $\frac{d}{dt}$는 라플라스 영역에서 $s$를 곱하는 것으로 변환되며, 2차 미분 $\frac{d^2}{dt^2}$는 $s^2$을 곱하는 것으로 변환됩니다.

Q문제

어떤 계를 표시하는 미분 방정식이

\frac{d ^{2} y ( t )}{d t ^{2}} + 3 \frac{d y ( t )}{d t} + 2 y (t) = \frac{d x ( t )}{d t} + x (t)

라고 한다.

x (t)

는 입력,

y (t)

는 출력이라고 한다면 이 계의 전달 함수는 어떻게 표시되는가?

유사 문제 링크

선택지 분석

G (s) = \frac{s ^{2} + 3 s + 2}{s + 1}

입력과 출력의 위치를 반대로 계산하여 분모와 분자가 뒤바뀐 오답입니다.

G (s) = \frac{2 s + 1}{s ^{2} + s + 1}

미분 방정식의 계수를 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

G (s) = \frac{s + 1}{s ^{2} + 3 s + 2}

주어진 미분 방정식의 전달 함수를 구하기 위해 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 라플라스 변환을 수행하여 도출합니다.

•

Step 1: 미분 방정식

\frac{d ^{2} y ( t )}{d t ^{2}} + 3 \frac{d y ( t )}{d t} + 2 y (t) = \frac{d x ( t )}{d t} + x (t)

의 양변을 라플라스 변환합니다.

•

Step 2: 변환 결과는

s^{2} Y (s) + 3 s Y (s) + 2 Y (s) = s X (s) + X (s)

가 됩니다.

•

Step 3:

Y (s)

와

X (s)

로 묶어 정리하면

Y (s) (s^{2} + 3 s + 2) = X (s) (s + 1)

이 됩니다.

•

Step 4: 전달 함수

G (s)

는 입력에 대한 출력의 비인

\frac{Y ( s )}{X ( s )}

이므로,

G (s) = \frac{s + 1}{s ^{2} + 3 s + 2}

가 됩니다.

G (s) = \frac{s ^{2} + s + 1}{2 s + 1}

미분 방정식의 계수를 잘못 적용하고 분모와 분자의 위치를 혼동한 오답입니다.

전달 함수를 구할 때 초기 조건은 어떻게 처리하나요?

전달 함수는 시스템의 고유한 특성을 나타내므로, 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 라플라스 변환을 수행하여 구합니다.

미분 연산자

\frac{d}{d t}

는 라플라스 변환 시 어떻게 바뀌나요?

초기 조건이 0일 때, 시간 영역의 1차 미분

\frac{d}{d t}

는 라플라스 영역에서

s

를 곱하는 것으로 변환되며, 2차 미분

\frac{d ^{2}}{d t ^{2}}

는

s^{2}

을 곱하는 것으로 변환됩니다.