다음의 미분방정식과 같이 표현되는 제어시스템이 있다. 이 제어시스템을 상태방정식 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{Ax} + \mathbf{Bu}$ 로 나타내었을 때 시스템 행렬 $\mathbf{A}$는? $$\frac{d^3c(t)}{dt^3} + 5\frac{d^2c(t)}{dt^2} + \frac{dc(t)}{dt} + 2c(t) = r(t)$$,

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

상태공간해석

전기기사 필기 2022년 1회 70번

Q문제

다음의 미분방정식과 같이 표현되는 제어시스템이 있다. 이 제어시스템을 상태방정식

\dot{x} = Ax + Bu

로 나타내었을 때 시스템 행렬

A

는?

\frac{d ^{3} c ( t )}{d t ^{3}} + 5 \frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} + \frac{d c ( t )}{d t} + 2 c (t) = r (t)

유사 문제 링크

00 - 2 10 - 1 01 - 5

주어진 3계 선형 상미분방정식을 상태공간방정식으로 변환하여 시스템 행렬 A를 구하는 과정입니다.

•

Step 1: 상태변수를 다음과 같이 정의합니다.

x_{1} = c (t)

x_{2} = \frac{d c ( t )}{d t}

x_{3} = \frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}}

•

Step 2: 정의한 상태변수를 미분하여 다음의 관계식을 도출합니다.

\overset{x}{˙}_{1} = x_{2}

\overset{x}{˙}_{2} = x_{3}

•

Step 3: 원래의 미분방정식에서 최고계 미분항에 대해 정리하면

\frac{d ^{3} c ( t )}{d t ^{3}} = - 2 c (t) - \frac{d c ( t )}{d t} - 5 \frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} + r (t)

가 되며, 이를 상태변수로 치환하면

\overset{x}{˙}_{3} = - 2 x_{1} - x_{2} - 5 x_{3} + r (t)

가 됩니다.

•

Step 4: 도출된 1계 미분방정식들을 행렬 형태로 표현하면

\overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2} \overset{x}{˙}_{3} = 00 - 2 10 - 1 01 - 5 x_{1} x_{2} x_{3} + 001 r (t)

가 되므로, 시스템 행렬

A

는

00 - 2 10 - 1 01 - 5

입니다.

10 - 2 01 - 1 00 - 5

상태변수 간의 미분 관계(

\overset{x}{˙}_{1} = x_{2}

\overset{x}{˙}_{2} = x_{3}

)를 나타내는 행렬의 1행과 2행을 잘못 구성한 오답입니다.

002101015

미분방정식을 최고계 미분항에 대해 정리할 때, 나머지 항들을 우변으로 이항하면서 부호를 반대로 바꾸지 않아 3행의 부호가 잘못된 오답입니다.

102011005

상태변수 간의 미분 관계를 나타내는 1, 2행의 구성이 틀렸으며, 이항 시 부호를 바꾸지 않아 3행의 부호도 모두 틀린 오답입니다.

상태변수는 어떻게 설정해야 하나요?

일반적으로 n계 미분방정식의 경우, 출력 변수와 그 변수의 1계부터 (n-1)계까지의 미분값을 각각 상태변수

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

으로 설정합니다.

시스템 행렬 A의 마지막 행은 어떻게 결정되나요?

주어진 미분방정식을 최고계 미분항에 대해 정리한 후, 우변으로 이항된 나머지 항들의 계수가 시스템 행렬 A의 마지막 행의 원소가 됩니다. 이때 이항으로 인해 부호가 반대로 바뀜에 주의해야 합니다.