샘플값제어

전기기사 필기 2006년 1회 80번

Q: $S$-평면의 좌반면은 $Z$-평면에서 어디에 해당하나요?

$S$-평면의 좌반면($\sigma < 0$)은 $Z$-평면의 단위 원 내부($|z| < 1$)로 사상됩니다. 이는 제어계의 안정 영역에 해당합니다.

Q: $S$-평면의 허수축은 $Z$-평면에서 어떻게 나타나나요?

$S$-평면의 허수축($\sigma = 0$)은 $Z$-평면에서 반지름이 1인 단위 원의 둘레($|z| = 1$)에 대응합니다.

Q: $Z$-변환의 초기값 정리와 라플라스 변환의 초기값 정리는 어떻게 다른가요?

라플라스 변환에서는 $s$를 무한대로 보내지만($\lim_{s \to \infty} sE(s)$), $Z$-변환에서는 $z$를 무한대로 보낼 때 $E(z)$ 자체의 극한값($\lim_{z \to \infty} E(z)$)을 취합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	trap
난이도	Level 4

Q문제

다음 설명 중 옳지 않은 것은?

유사 문제 링크

2013-1-q63 2006-1-q71 2009-1-q73 2005-1-q80 2017-1-q70

선택지 분석

S

평면의 우측면은

Z

평면의 원점에 중심을 둔 단위원 내부로 사상된다.

정답 상세 해설

S

-평면의 우반면은

Z

-평면에서 단위 원의 외부로 사상되므로 해당 설명은 옳지 않습니다.

•

Step 1:

S

-평면과

Z

-평면의 사상 관계식인

z = e^{s T}

를 이용합니다. 여기서

s = σ + j ω

로 치환하면

z = e^{(σ + j ω) T} = e^{σ T} \cdot e^{j ω T}

가 됩니다.

•

Step 2:

S

-평면의 우반면은 실수부

σ

가 0보다 큰 영역(

σ > 0

)을 의미합니다. 이 경우

∣ z ∣ = ∣ e^{σ T} \cdot e^{j ω T} ∣ = e^{σ T}

의 값은 항상 1보다 크게 됩니다(

e^{σ T} > 1

•

Step 3: 따라서

∣ z ∣ > 1

인 영역은

Z

-평면에서 반지름이 1인 단위 원의 외부를 나타내며, 문제에서 제시한 '단위 원 내부'라는 설명은 틀린 것이 됩니다.

Z / (Z - 1)

에 대응되는 라플라스 변환함수는

1/ S

이다.

오답 함정 분석

단위 계단 함수

u (t)

의 라플라스 변환은

1/ s

이고,

Z

-변환은

z / (z - 1)

이므로 이는 옳은 설명입니다.

Z / (Z - e^{- a T})

에 대응되는 시간함수는

e^{- a T}

이다.

오답 함정 분석

지수 함수

e^{- a t}

를 샘플링 주기

T

로

Z

-변환하면

z / (z - e^{- a T})

가 되므로 이는 옳은 설명입니다.

e (t)

의 초기값은

e (t)

의

Z

변환을

E (z)

라 할 때

lim_{z \to \infty} E (z)

이다.

오답 함정 분석

Z

-변환의 초기값 정리에 의해

e (0) = lim_{z \to \infty} E (z)

가 성립하므로 이는 옳은 설명입니다.

자주 묻는 질문

S

-평면의 좌반면은

Z

-평면에서 어디에 해당하나요?

S

-평면의 좌반면(

σ < 0

)은

Z

-평면의 단위 원 내부(

∣ z ∣ < 1

)로 사상됩니다. 이는 제어계의 안정 영역에 해당합니다.

S

-평면의 허수축은

Z

-평면에서 어떻게 나타나나요?

S

-평면의 허수축(

σ = 0

)은

Z

-평면에서 반지름이 1인 단위 원의 둘레(

∣ z ∣ = 1

)에 대응합니다.

Z

-변환의 초기값 정리와 라플라스 변환의 초기값 정리는 어떻게 다른가요?

라플라스 변환에서는

s

를 무한대로 보내지만(

lim_{s \to \infty} s E (s)

Z

-변환에서는

z

를 무한대로 보낼 때

E (z)

자체의 극한값(

lim_{z \to \infty} E (z)

)을 취합니다.

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