시간함수 $f(t) = \sin\omega t$의 z변환은? (단, T는 샘플링 주기이다.)

$\frac{z\sin\omega T}{z^2 - 2z\cos\omega T + 1}$

$\frac{z\sin\omega T}{z^2 + 2z\cos\omega T + 1}$

$\frac{z\sin\omega T}{z^2 - 2z\cos\omega T + 1}$

$\frac{z\cos\omega T}{z^2 - 2z\sin\omega T + 1}$

$\frac{z\cos\omega T}{z^2 + 2z\sin\omega T + 1}$

코사인 함수 $\cos\omega t$의 Z변환은 어떻게 되나요?

$\cos\omega t$의 Z변환은 $\frac{z(z - \cos\omega T)}{z^2 - 2z\cos\omega T + 1}$입니다. 사인 함수의 Z변환과 분모는 같지만 분자의 형태가 다릅니다.

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샘플값제어

전기기사 필기 2020년 3회 63번

Q: Z변환에서 $T$는 무엇을 의미하나요?

$T$는 샘플링 주기(Sampling Period)를 의미합니다. 연속 시간 신호를 이산 시간 신호로 변환할 때 신호를 추출하는 일정한 시간 간격입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

시간함수

f (t) = sin ω t

의 z변환은? (단, T는 샘플링 주기이다.)

유사 문제 링크

2013-3-q63 2013-3-q65 2018-1-q70 2020-2-q64 2014-3-q61

선택지 분석

\frac{z s i n ω T}{z ^{2} + 2 z c o s ω T + 1}

오답 함정 분석

분모의 중간 항 부호가 잘못되었습니다. 올바른 분모는

z^{2} - 2 z cos ω T + 1

입니다.

\frac{z s i n ω T}{z ^{2} - 2 z c o s ω T + 1}

정답 상세 해설

시간함수

f (t) = sin ω t

의 Z변환은

\frac{z s i n ω T}{z ^{2} - 2 z c o s ω T + 1}

입니다.

•

Step 1: 오일러 공식을 이용하여 사인 함수를 지수 함수로 표현합니다.

sin ω t = \frac{e ^{j ω t} - e ^{- j ω t}}{2 j}

•

Step 2: 샘플링된 신호

f (k T) = sin ω k T

에 대해 지수 함수의 Z변환 공식

Z [e^{a t}] = \frac{z}{z - e ^{a T}}

를 적용합니다.

•

Step 3: 각 항을 Z변환하여 통분하고 정리합니다.

Z [sin ω t] = \frac{1}{2 j} (\frac{z}{z - e ^{j ω T}} - \frac{z}{z - e ^{- j ω T}}) = \frac{z}{2 j} (\frac{e ^{j ω T} - e ^{- j ω T}}{z ^{2} - z ( e ^{j ω T} + e ^{- j ω T} ) + 1})

•

Step 4: 오일러 공식을 다시 적용하여 분모와 분자를 삼각함수로 변환합니다.

e^{j ω T} - e^{- j ω T} = 2 j sin ω T

이고

e^{j ω T} + e^{- j ω T} = 2 cos ω T

이므로, 최종 결과는

\frac{z s i n ω T}{z ^{2} - 2 z c o s ω T + 1}

이 됩니다.

\frac{z c o s ω T}{z ^{2} - 2 z s i n ω T + 1}

오답 함정 분석

분자가 잘못되었습니다.

cos ω t

의 Z변환과 혼동한 형태이며, 올바른 분자는

z sin ω T

입니다.

\frac{z c o s ω T}{z ^{2} + 2 z s i n ω T + 1}

오답 함정 분석

분자와 분모 모두 잘못되었습니다. 분자는 코사인 함수의 형태를 띠고 있으며, 분모의 부호와 삼각함수 항이 틀렸습니다.

자주 묻는 질문

코사인 함수

cos ω t

의 Z변환은 어떻게 되나요?

cos ω t

의 Z변환은

\frac{z ( z - c o s ω T )}{z ^{2} - 2 z c o s ω T + 1}

입니다. 사인 함수의 Z변환과 분모는 같지만 분자의 형태가 다릅니다.

Z변환에서

T

는 무엇을 의미하나요?

T

는 샘플링 주기(Sampling Period)를 의미합니다. 연속 시간 신호를 이산 시간 신호로 변환할 때 신호를 추출하는 일정한 시간 간격입니다.

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