샘플값제어

전기기사 필기 2013년 3회 63번

Q: $Z$ 변환에서 $\frac{z}{z-a}$의 역변환은 어떻게 되나요?

$\frac{z}{z-a}$의 $Z$ 역변환은 $a^k u(k)$ (또는 연속 시간 표현으로 $a^t u(t)$)가 됩니다.

Q: 부분분수 전개 시 왜 $Y(z)$를 $z$로 먼저 나누나요?

$Z$ 변환의 기본 형태가 분자에 $z$를 포함하는 $\frac{z}{z-a}$ 꼴이므로, 역변환을 쉽게 하기 위해 분자의 $z$를 미리 나누어 둔 후 부분분수 전개를 하고 다시 $z$를 곱해주는 방식을 사용합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

Y (z) = \frac{2 z}{( z - 1 ) ( z - 2 )}

의 함수를

z

역변환하면?

유사 문제 링크

2013-3-q65 2018-1-q70 2020-2-q64 2014-3-q61 2006-1-q73

선택지 분석

y (t) = - 2 u (t) - 2 u (2 t)

오답 함정 분석

부분분수 전개 시 두 번째 항의 부호를 음수로 잘못 계산한 오답입니다.

y (t) = - 2 u (t) + 2 u (2 t)

정답 상세 해설

주어진 함수

Y (z)

를 부분분수로 전개하여

z

역변환을 수행하면 정답을 도출할 수 있습니다.

•

Step 1: 부분분수 전개를 쉽게 하기 위해 양변을

z

로 나눕니다.

\frac{Y ( z )}{z} = \frac{2}{( z - 1 ) ( z - 2 )} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z - 2}

•

Step 2: 헤비사이드 부분분수 전개법을 이용하여 계수

A

와

B

를 구합니다.

A = \frac{2}{z - 2}_{z = 1} = \frac{2}{1 - 2} = - 2

B = \frac{2}{z - 1}_{z = 2} = \frac{2}{2 - 1} = 2

따라서

\frac{Y ( z )}{z} = \frac{- 2}{z - 1} + \frac{2}{z - 2}

이며, 양변에

z

를 곱하면

Y (z) = \frac{- 2 z}{z - 1} + \frac{2 z}{z - 2}

가 됩니다.

•

Step 3: 각 항을

z

역변환 공식

Z^{- 1} {\frac{z}{z - a}} = a^{t} u (t)

를 적용하여 변환합니다.

Z^{- 1} {\frac{- 2 z}{z - 1}} = - 2 (1)^{t} u (t) = - 2 u (t)

Z^{- 1} {\frac{2 z}{z - 2}} = 2 (2)^{t} u (t)

(선지 표기상

2 u (2 t)

로 표현됨) 결과적으로

y (t) = - 2 u (t) + 2 u (2 t)

가 됩니다.

y (t) = - 3 δ (t) - 3 δ (2 t)

오답 함정 분석

부분분수 계수를 잘못 구하고, 역변환 함수를 단위 임펄스 함수(

δ (t)

)로 착각한 오답입니다.

y (t) = - 3 δ (t) + 3 δ (2 t)

오답 함정 분석

부분분수 계수를 잘못 구하고, 역변환 함수를 단위 임펄스 함수(

δ (t)

)로 착각한 오답입니다.

자주 묻는 질문

Z

변환에서

\frac{z}{z - a}

의 역변환은 어떻게 되나요?

\frac{z}{z - a}

의

Z

역변환은

a^{k} u (k)

(또는 연속 시간 표현으로

a^{t} u (t)

)가 됩니다.

부분분수 전개 시 왜

Y (z)

를

z

로 먼저 나누나요?

Z

변환의 기본 형태가 분자에

z

를 포함하는

\frac{z}{z - a}

꼴이므로, 역변환을 쉽게 하기 위해 분자의

z

를 미리 나누어 둔 후 부분분수 전개를 하고 다시

z

를 곱해주는 방식을 사용합니다.

이 문제 바로 풀기