n차 선형 시불변 시스템의 상태방정식을 $\frac{d}{dt}X(t) = AX(t) + Br(t)$ 로 표시할 때 상태천이 행렬 $\Phi(t)$ ($n \times n$ 행렬)에 관하여 틀린 것은?

$\Phi(t)$ 는 시스템의 정상상태응답을 나타낸다.

$\frac{d\Phi(t)}{dt} = A \cdot \Phi(t)$

$\Phi(t) = \mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]$

$\Phi(t)$ 는 시스템의 정상상태응답을 나타낸다.

$\Phi(0)$의 값은 항상 단위행렬인가요?

네, 정의식 $\Phi(t) = e^{At}$에 $t=0$을 대입하면 $e^{0} = I$가 되므로 항상 단위행렬(Identity Matrix)이 됩니다.

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상태공간해석

전기기사 필기 2019년 1회 68번

Q: 상태천이행렬 $\Phi(t)$의 주요 역할은 무엇인가요?

초기 상태 $X(0)$가 주어졌을 때, 외부 입력이 없는 상황에서 시스템의 상태가 시간에 따라 어떻게 변화(전이)하는지를 결정하는 역할을 합니다.

Q: 상태천이행렬을 구할 때 왜 라플라스 역변환을 사용하나요?

시간 영역에서 행렬 지수 함수 $e^{At}$를 직접 계산하는 것보다, $s$ 영역에서 $(sI-A)^{-1}$을 구한 뒤 역변환하는 것이 대수적으로 더 간편하기 때문입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	memory
난이도	Level 2

Q문제

n차 선형 시불변 시스템의 상태방정식을

\frac{d}{d t} X (t) = A X (t) + B r (t)

로 표시할 때 상태천이 행렬

Φ (t)

(

n \times n

행렬)에 관하여 틀린 것은?

유사 문제 링크

2009-1-q78 2020-3-q69 2006-1-q78 2010-1-q64 2019-3-q61

선택지 분석

Φ (t) = e^{A t}

오답 함정 분석

상태천이행렬의 가장 기본적인 정의식으로, 행렬 지수 함수 형태로 표현되는 것이 맞습니다.

\frac{d Φ ( t )}{d t} = A \cdot Φ (t)

오답 함정 분석

지수 행렬

e^{A t}

를 시간에 대해 미분하면

A e^{A t}

가 되므로 수학적으로 성립하는 성질입니다.

Φ (t) = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}]

오답 함정 분석

라플라스 변환 영역에서 상태천이행렬은

(s I - A)^{- 1}

로 정의되며, 이를 역변환하여 시간 영역의 행렬을 구할 수 있습니다.

Φ (t)

는 시스템의 정상상태응답을 나타낸다.

정답 상세 해설

상태천이행렬

Φ (t)

는 시스템의 과도 특성과 상태 전이 과정을 기술하는 행렬이며, 정상상태응답을 나타내는 것이 아니므로 틀린 설명입니다.

•

Step 1: 상태천이행렬의 정의를 검토합니다.

Φ (t) = e^{A t}

는 입력이 없는 상태(

r (t) = 0

)에서 초기 상태

X (0)

가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 나타내는 고유 응답(과도 응답) 특성을 가집니다.

•

Step 2: 시스템의 전체 응답 구성을 분석합니다. 상태방정식의 해

X (t) = Φ (t) X (0) + \int_{0}^{t} Φ (t - τ) B r (τ) d τ

에서 앞부분은 초기값에 의한 과도 응답을, 뒷부분의 적분항은 입력에 의한 강제 응답을 나타냅니다.

•

Step 3: 정상상태응답과의 차이점을 확인합니다. 정상상태응답은 시간이 충분히 경과한 후(

t \to \infty

)의 시스템 출력을 의미하며,

Φ (t)

자체는 상태의 전이 메커니즘을 정의하는 행렬일 뿐 그 자체가 정상상태응답을 의미하지는 않습니다.

자주 묻는 질문

상태천이행렬

Φ (t)

의 주요 역할은 무엇인가요?

초기 상태

X (0)

가 주어졌을 때, 외부 입력이 없는 상황에서 시스템의 상태가 시간에 따라 어떻게 변화(전이)하는지를 결정하는 역할을 합니다.

Φ (0)

의 값은 항상 단위행렬인가요?

네, 정의식

Φ (t) = e^{A t}

에

t = 0

을 대입하면

e^{0} = I

가 되므로 항상 단위행렬(Identity Matrix)이 됩니다.

상태천이행렬을 구할 때 왜 라플라스 역변환을 사용하나요?

시간 영역에서 행렬 지수 함수

e^{A t}

를 직접 계산하는 것보다,

s

영역에서

(s I - A)^{- 1}

을 구한 뒤 역변환하는 것이 대수적으로 더 간편하기 때문입니다.

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