안정도판별법

전기기사 필기 2019년 1회 64번

Q: 단위궤환 제어시스템의 특성방정식은 어떻게 구하나요?

폐루프 전달함수의 분모를 0으로 만드는 식인 $1 + G(s)H(s) = 0$을 이용합니다. 단위궤환이므로 $H(s)=1$이 되어 $1 + G(s) = 0$으로 계산합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

단위궤환 제어시스템의 전향경로 전달함수가

G (s) = \frac{K}{s ( s ^{2} + 5 s + 4 )}

일 때, 이 시스템이 안정하기 위한 K의 범위는?

유사 문제 링크

2022-2-q70 2006-3-q78 2009-3-q70 2008-1-q74 2008-1-q77

선택지 분석

K < - 20

오답 함정 분석

K가 음수이면 Routh 배열의 제1열에 있는

s^{0}

행의 요소(K)가 음수가 되어 부호 변화가 발생하므로 시스템이 불안정해집니다.

- 20 < K < 0

오답 함정 분석

K가 음수이면 Routh 배열의 제1열에 있는

s^{0}

행의 요소(K)가 음수가 되어 부호 변화가 발생하므로 시스템이 불안정해집니다.

0 < K < 20

정답 상세 해설

이 시스템이 안정하기 위한 K의 범위는

0 < K < 20

입니다. Routh-Hurwitz 안정도 판별법을 사용하여 특성방정식의 근이 모두 좌반면에 위치할 조건을 구합니다.

•

Step 1: 단위궤환 제어시스템의 특성방정식을 구합니다. 특성방정식은

1 + G (s) = 0

이므로,

1 + \frac{K}{s ( s ^{2} + 5 s + 4 )} = 0

을 정리하면

s^{3} + 5 s^{2} + 4 s + K = 0

이 됩니다.

•

Step 2: 특성방정식을 바탕으로 Routh 배열을 작성합니다.

s^{3}

행은 1과 4,

s^{2}

행은 5와 K가 됩니다.

s^{1}

행의 첫 번째 요소는

\frac{5 \times 4 - 1 \times K}{5} = \frac{20 - K}{5}

이며,

s^{0}

행의 첫 번째 요소는 K가 됩니다.

•

Step 3: 시스템이 안정하려면 Routh 배열의 제1열 요소들의 부호가 모두 같아야 합니다. 제1열의 요소는 1, 5,

\frac{20 - K}{5}

, K입니다.

•

Step 4: 부호가 모두 양수여야 하므로

\frac{20 - K}{5} > 0

에서

K < 20

이고,

K > 0

이어야 합니다. 따라서 안정을 위한 K의 범위는

0 < K < 20

입니다.

20 < K

오답 함정 분석

K가 20보다 크면 Routh 배열의 제1열에 있는

s^{1}

행의 요소가 음수가 되어 부호 변화가 발생하므로 시스템이 불안정해집니다.

자주 묻는 질문

단위궤환 제어시스템의 특성방정식은 어떻게 구하나요?

폐루프 전달함수의 분모를 0으로 만드는 식인

1 + G (s) H (s) = 0

을 이용합니다. 단위궤환이므로

H (s) = 1

이 되어

1 + G (s) = 0

으로 계산합니다.

Routh 배열의 제1열에 부호 변화가 생기면 어떻게 되나요?

제1열에서 부호가 변하는 횟수만큼 특성방정식의 근이 s-평면의 우반면에 존재하게 되어 시스템이 불안정해집니다.

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