$G(j\omega) = \frac{K}{j\omega(j\omega+1)}$ 에 있어서 진폭 $A$ 및 위상각 $\theta$는? $$\lim_{\omega \to \infty} G(j\omega) = A\angle\theta$$

$A=\infty, \theta=-180^{\circ}$

$\omega$가 무한대로 갈 때 $\angle(j\omega+1)$이 $90^{\circ}$가 되는 이유는 무엇인가요?

$\angle(j\omega+1) = \tan^{-1}(\omega/1)$입니다. $\omega$가 무한대로 접근하면 아크탄젠트 함수의 특성에 따라 그 값은 $90^{\circ}$($\pi/2$ 라디안)에 수렴합니다.

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정상오차와 주파수응답

전기기사 필기 2018년 3회 70번

Q: 전달함수의 위상각은 어떻게 계산하나요?

분자의 위상각에서 분모의 각 인수들의 위상각을 빼서 계산합니다. 복소수 $a+jb$의 위상각은 $\tan^{-1}(b/a)$로 구합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

G (j ω) = \frac{K}{j ω ( j ω + 1 )}

에 있어서 진폭

A

및 위상각

θ

는?

ω \to \infty lim G (j ω) = A ∠ θ

유사 문제 링크

2004-3-q72 2007-3-q71 2016-3-q67 2016-3-q62 2017-3-q68

선택지 분석

A = 0, θ = - 9 0^{\circ}

오답 함정 분석

위상각을 계산할 때 분모의 (jω+1) 항에 의한 위상 지연 -90도를 누락하여 -90도로 잘못 계산한 오답입니다.

A = 0, θ = - 18 0^{\circ}

정답 상세 해설

주어진 전달함수

G (j ω) = \frac{K}{j ω ( j ω + 1 )}

에서

ω \to \infty

일 때의 진폭과 위상각을 구하는 문제입니다.

•

Step 1: 진폭

A

계산

A = lim_{ω \to \infty} ∣ G (j ω) ∣ = lim_{ω \to \infty} \frac{K}{ω ω ^{2} + 1}

입니다. 분모가 무한대로 커지므로 진폭

A = 0

이 됩니다.

•

Step 2: 위상각

θ

계산

θ = ∠ G (j ω) = ∠ K - ∠ (j ω) - ∠ (j ω + 1)

입니다.

•

Step 3: 극한 적용

∠ K = 0^{\circ}

∠ (j ω) = 9 0^{\circ}

이며,

lim_{ω \to \infty} ∠ (j ω + 1) = lim_{ω \to \infty} tan^{- 1} (ω) = 9 0^{\circ}

입니다. 따라서

θ = 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = - 18 0^{\circ}

가 됩니다.

A = \infty, θ = - 9 0^{\circ}

오답 함정 분석

진폭 계산 시 분모가 무한대가 되어 0이 되는 것을 무한대로 착각하고, 위상각 계산에서도 (jω+1) 항의 영향을 누락한 오답입니다.

A = \infty, θ = - 18 0^{\circ}

오답 함정 분석

위상각은 올바르게 계산하였으나, 진폭 계산 시 분모가 무한대가 되어 0이 되는 것을 무한대로 잘못 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전달함수의 위상각은 어떻게 계산하나요?

분자의 위상각에서 분모의 각 인수들의 위상각을 빼서 계산합니다. 복소수

a + j b

의 위상각은

tan^{- 1} (b / a)

로 구합니다.

ω

가 무한대로 갈 때

∠ (j ω + 1)

이

9 0^{\circ}

가 되는 이유는 무엇인가요?

∠ (j ω + 1) = tan^{- 1} (ω /1)

입니다.

ω

가 무한대로 접근하면 아크탄젠트 함수의 특성에 따라 그 값은

9 0^{\circ}

(

π /2

라디안)에 수렴합니다.

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