직류회로

전기기사 필기 2016년 2회 76번

Q문제

그림과 같이 r = 1

Ω

인 저항을 무한히 연결할 때 a-b에서의 합성저항은?

유사 문제 링크

선택지 분석

1 + 3

무한히 반복되는 회로망의 특성을 이용하여 합성저항에 대한 2차 방정식을 세워 풀이합니다.

•

Step 1: a-b 단자에서 본 전체 합성저항을

R_{0}

라고 가정합니다. 무한히 반복되는 구조이므로, 첫 번째 반복 구간(위쪽 직렬 저항

r

, 아래쪽 직렬 저항

r

, 병렬 저항

r

)을 제외한 나머지 우측 회로망의 합성저항 역시

R_{0}

가 됩니다.

•

Step 2: 전체 합성저항

R_{0}

에 대한 등가 회로 방정식을 세웁니다.

R_{0} = r + r + \frac{r \cdot R _{0}}{r + R _{0}} = 2 r + \frac{r R _{0}}{r + R _{0}}

입니다.

•

Step 3: 방정식을 정리하여

R_{0}

를 구합니다. 양변에

(r + R_{0})

를 곱하면

R_{0}^{2} + r R_{0} = 2 r^{2} + 2 r R_{0} + r R_{0}

가 되며, 이를 정리하면

R_{0}^{2} - 2 r R_{0} - 2 r^{2} = 0

이 됩니다. 근의 공식을 적용하면

R_{0} = r + 3 r

(저항은 양수)가 되고,

r = 1Ω

을 대입하면

R_{0} = 1 + 3 Ω

이 됩니다.

3

직렬 저항 부분을 1개만 고려하여 계산 오류를 범한 결과입니다.

1 + 2

반복되는 기본 단위의 구조를 잘못 파악하여 2차 방정식의 계수를 잘못 도출한 결과입니다.

\infty

저항이 무한히 연결되어 있으므로 합성저항도 무한대일 것이라고 직관적으로 잘못 판단한 결과입니다.

무한 회로망에서 왜 나머지 부분의 저항도 전체 저항과 같다고 두나요?

무한히 반복되는 구조에서는 맨 앞의 한 단계를 제외하더라도 남은 부분 역시 무한히 반복되는 동일한 구조를 가지기 때문입니다. 따라서 전체 합성저항과 동일한 값으로 취급하여 방정식을 세울 수 있습니다.

2차 방정식의 해가 두 개 나오는데 왜 양수만 선택하나요?

물리적인 회로에서 저항값은 항상 0보다 큰 양수 값을 가져야 하므로, 수학적 해 중에서 양수인 값만 실제 합성저항으로 채택합니다.